tenha:
a) Solução única;
b) Infinitas soluções;
c) Nenhuma solução.
Respostas: (a) a neq 25 e b in R;
(b) a=25 e b=0;
(c) a=25 e b neq 0.
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear
x + y - 2z = 0, 2x + y + z = b, x + a,y + z = 0,
com parâmetros a e b. O conteúdo aqui é teoria de sistemas lineares 3times3: vamos usar determinante da matriz de coeficientes para estudar solução única e, quando o determinante for zero, usar o teste da compatibilidade (posto da matriz aumentada).
Passo 2
Formamos a matriz de coeficientes
e calculamos seu determinante. Por expansão na primeira linha,
Passo 3
Se det A neq 0, ou seja 2 - 5a neq 0 (isto é a neq tfrac25), o sistema tem solução única para qualquer binR.
Passo 4
Se det A = 0, então a = tfrac25 e as três equações são linearmente dependentes. De fato, para a=tfrac25 tem-se
-tfrac15,(x+y-2z)+tfrac35,(2x+y+z) =x+tfrac25y+z,
logo a 3ª equação é combinação das duas primeiras. Para o sistema ser compatível, o mesmo relacionamento deve valer nos termos independentes:
-tfrac15cdot0 + tfrac35cdot b = 0 Longrightarrow b=0
Assim, se a = tfrac25 e b=0 o sistema tem posto 2 em 3 incógnitas (infinitas soluções); se a = tfrac25 e bneq0 há incompatibilidade (nenhuma solução).
Resposta
(a) aneq tfrac25 e binR.
(b) a=tfrac25 e b=0.
(c) a=tfrac25 e bneq 0.