Nos itens abaixo, defina a transformação linear T por T(v)=A v e determine o núcleo e a imagem de T, bem como suas respectivas dimensões.
A=[ll1 & 2 3 & 4]

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a transformação linear Tcolon R^2 to R^2 dada por
T(v)=A,v,
onde
A = 1 & 2 3 & 4
Pede-se o núcleo de T, a imagem de T e as dimensões desses espaços.

Passo 2

Para verificar se A é invertível, calculamos seu determinante:
det(A) = 1cdot 4 - 2cdot 3 = -2
Como det(A)neq 0, concluímos que A é invertível.

Passo 3

O núcleo de T é
ker(T)=,vinR^2mid A,v=0
Como A é invertível, a única solução de A,v=0 é v=(0,0). Logo,
ker(T)=(0,0),
e portanto
dim(ker(T))=0

Passo 4

A imagem de T é o espaço gerado pelas colunas de A. Como det(A)neq0, as colunas são linearmente independentes e formam base de R^2. Dessa forma,
Im(T)=R^2
e
dim(Im(T))=2

Resposta

ker(T)=(0,0), dim(ker(T))=0
Im(T)=R^2, dim(Im(T))=2

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