Se a transformação de dilatação é definida por T: R^3 R^3 sendo T(x)=1.5 x, determine:
Esta transformação é linear?

Passo 1

O enunciado define a transformação T:R^3toR^3 por
T(x)=1.5,x,
e pede para verificar se T é linear. Para isso, vamos usar a definição de transformação linear, que exige duas propriedades: aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Verificamos a aditividade, ou seja, se para quaisquer vetores u,vinR^3 vale
T(u+v)=T(u)+T(v)
De fato,
T(u+v)=1.5,(u+v)=1.5,u+1.5,v=T(u)+T(v)

Passo 3

Verificamos a homogeneidade, isto é, se para todo escalar cinR e todo vetor uinR^3 vale
T(c,u)=c,T(u)
De fato,
T(c,u)=1.5,(c,u)=c,(1.5,u)=c,T(u)

Passo 4

Como T satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, concluímos que é de fato uma transformação linear.

Resposta

Sim, a transformação T(x)=1.5x é linear.

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