Seja c um número real. Considere o sistema
2 x+6 y+6 z & =4 x+y+2 z & =2 3 x-y+4 z & =c
Execute o método da eliminação gaussiana na matriz aumentada do sistema.

Passo 1

O enunciado dá o sistema
2x + 6y + 6z = 4, x + y + 2z = 2, 3x - y + 4z = c,
e pede para aplicar o método de eliminação de Gauss na matriz aumentada. Vamos construir a matriz e fazer operações elementares para levá-la à forma escalonada.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada inicial:
[ccc|c 2 & 6 & 6 & 4 1 & 1 & 2 & 2 3 & -1 & 4 & c ]

Passo 3

Para facilitar, trocamos R1 com R2 de modo a ter um pivô 1 na primeira linha:
R1 rightarrow R2 Longrightarrow [ccc|c 1 & 1 & 2 & 2 2 & 6 & 6 & 4 3 & -1 & 4 & c ]

Passo 4

Zeramos os elementos abaixo do pivô da coluna 1:
aplicamos
R2 R2 - 2,R1, R3 R3 - 3,R1,
obtendo
[ccc|c 1 & 1 & 2 & 2 0 & 4 & 2 & 0 0 & -4 & -2 & c - 6 ]

Passo 5

Agora usamos o pivô 4 em R2 para zerar o elemento abaixo na coluna 2:
R3 R3 + R2,
e chegamos à forma escalonada
[ccc|c 1 & 1 & 2 & 2 0 & 4 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & c - 6 ]

Resposta

A forma escalonada da matriz aumentada é
[ccc|c 1 & 1 & 2 & 2 0 & 4 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & c - 6 ]
Dela vemos que a última linha impõe
0x+0y+0z = c - 6
Para o sistema ser compatível é preciso c - 6 = 0, isto é, c=6. Se cneq6, o sistema é impossível; se c=6, há infinitas soluções.

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