Determine quais matrizes abaixo são diagonalizáveis. .
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a matriz
A = 1 & 3 [-6pt] -1 & 5
é diagonalizável. O conteúdo envolvido é autovalores e autovetores de matrizes quadradas, e o critério principal é que uma matriz de ordem 2 é diagonalizável se tiver dois autovalores reais distintos (ou, de modo geral, se a soma das dimensões dos espaços próprios for 2).]
Passo 2
Vamos calcular o polinômio característico de A, que é dado por
Como , já temos dois autovalores distintos. Em , isso garante dois autovetores linearmente independentes, e portanto garante que seja diagonalizável. Para confirmar:
Para , resolvemos :então um autovetor é .
Para , resolvemos :então um autovetor é .
Resposta
A matriz A é diagonalizável, pois possui dois autovalores reais distintos e duas direções próprias linearmente independentes.