Determine quais matrizes abaixo são diagonalizáveis.
A=(cc1 & 3 -1 & 5).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz
A = 1 & 3 [-6pt] -1 & 5
é diagonalizável. O conteúdo envolvido é autovalores e autovetores de matrizes quadradas, e o critério principal é que uma matriz de ordem 2 é diagonalizável se tiver dois autovalores reais distintos (ou, de modo geral, se a soma das dimensões dos espaços próprios for 2).]

Passo 2

Vamos calcular o polinômio característico de A, que é dado por
det(A - lambda I) =det1-lambda & 3 [-4pt] -1 & 5-lambda =(1-lambda)(5-lambda)-(-1)cdot3
Expandindo,
(1-lambda)(5-lambda)+3 =lambda^2 -6lambda +5 +3 =lambda^2 -6lambda +8 ]

Passo 3

Encontramos os autovalores resolvendo
lambda^2 -6lambda +8 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara,
lambda = 6 pm raiz36 -322 = 6 pm 22,
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lambda1 = 4, lambda2 = 2

Passo 4

Como , já temos dois autovalores distintos. Em , isso garante dois autovetores linearmente independentes, e portanto garante que seja diagonalizável. Para confirmar:
  • Para , resolvemos :então um autovetor é .
  • Para , resolvemos :então um autovetor é .

Resposta

A matriz A é diagonalizável, pois possui dois autovalores reais distintos e duas direções próprias linearmente independentes.

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