Determine quais matrizes abaixo são diagonalizáveis.
A=(ccc1 & -1 & 0 2 & 3 & 2 1 & 1 & 2).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz
A= 1 & -1 & 0 2 & 3 & 2 1 & 1 & 2
é diagonalizável. Para isso, vamos calcular os autovalores de A (raízes do polinômio característico) e conferir suas multiplicidades algébrica e geométrica.

Passo 2

Calculemos o polinômio característico det(A-lambda I)=0. Temos
A-lambda I = 1-lambda & -1 & 0 2 & 3-lambda & 2 1 & 1 & 2-lambda
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det(A-lambda I) =(1-lambda) det3-lambda & 21 & 2-lambda -(-1) det2 & 21 & 2-lambda

Passo 3

Expandindo cada determinante:
det3-lambda & 21 & 2-lambda =(3-lambda)(2-lambda)-2cdot1 =lambda^2-5lambda+4,
det2 & 21 & 2-lambda =2(2-lambda)-2cdot1 =2-2lambda
Então
det(A-lambda I) =(1-lambda)(lambda^2-5lambda+4)+(2-2lambda) =-lambda^3+6lambda^2-11lambda+6
Multiplicando por -1, obtemos
lambda^3-6lambda^2+11lambda-6 =(lambda-1)(lambda-2)(lambda-3)

Passo 4

Os autovalores são lambda=1,2,3, todos distintos. Em R^3 (ou C^3), matriz com três autovalores distintos é sempre diagonalizável, porque a soma das dimensões dos autoespaços atinge 3.

Resposta

A matriz A é diagonalizável.

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