Determine quais operadores lineares a seguir são diagonalizáveis. definido por .
Passo 1
O enunciado dá o operador linear
Tcolon M2(R)to M2(R),
Tl(x & y z & wr) =x+2y & -y 2z & -z+w
e pede para decidir se T é diagonalizável. O conteúdo é autovalores e autovetores em espaços de dimensão finita; vamos achar a matriz de T na base canônica de M2(R), depois seus autovalores e suas multiplicidades geométrica e algébrica.
Passo 2
Escolhemos a base canônica B=(E11,E12,E21,E22)
de M2(R). Calculando imagem de cada base:
Assim os autovalores de T (contando multiplicidade algébrica) são
lambda=-1, lambda=1 (dupla), lambda=2
Passo 4
Calculamos a dimensão do espaço próprio para cada lambda:
Para lambda=-1 no primeiro bloco: 1+1&20&-1+1 =2&20&0,
que dá condição v1+v2=0. Espaço próprio de dimensão 1.
Para lambda=2 no segundo bloco: 2-2&0-1&1-2 =0&0-1&-1,
que dá v1+v2=0. Espaço próprio de dimensão 1.
Para lambda=1 aparece em ambos os blocos:
— No primeiro: 0&20&-2 to v2=0, dimensão 1.
— No segundo: 1&0-1&0 to v1=0, dimensão 1.
Somando, a multiplicidade geométrica de lambda=1 é 1+1=2.
Passo 5
Comparando multiplicidades algébrica e geométrica: