Determine quais operadores lineares a seguir são diagonalizáveis.
T: M2(R) M2(R) definido por T(ccx & y z & w)=(ccx+2 y & -y 2 z & -z+w).

Passo 1

O enunciado dá o operador linear
Tcolon M2(R)to M2(R),
Tl(x & y z & wr) =x+2y & -y 2z & -z+w
e pede para decidir se T é diagonalizável. O conteúdo é autovalores e autovetores em espaços de dimensão finita; vamos achar a matriz de T na base canônica de M2(R), depois seus autovalores e suas multiplicidades geométrica e algébrica.

Passo 2

Escolhemos a base canônica
B=(E11,E12,E21,E22)
de M2(R). Calculando imagem de cada base:
T(E11)=E11, T(E12)=2,E11-E12, T(E21)=2,E21-E22, T(E22)=E22
Logo, a matriz de T em B é
[T]B= 1 & 2 & 0 & 0 0 & -1& 0 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & -1& 1 ,
que é blocada em
1&20&-1 e 2&0-1&1.

Passo 3

Cada bloco 2times 2 tem polinômio característico:
det1-lambda&20&-1-lambda =(1-lambda)(-1-lambda), det2-lambda&0-1&1-lambda =(2-lambda)(1-lambda)
Assim os autovalores de T (contando multiplicidade algébrica) são
lambda=-1, lambda=1 (dupla), lambda=2

Passo 4

Calculamos a dimensão do espaço próprio para cada lambda:
  • Para lambda=-1 no primeiro bloco: 1+1&20&-1+1 =2&20&0,
que dá condição v1+v2=0. Espaço próprio de dimensão 1.
  • Para lambda=2 no segundo bloco: 2-2&0-1&1-2 =0&0-1&-1,
que dá v1+v2=0. Espaço próprio de dimensão 1.
  • Para lambda=1 aparece em ambos os blocos:
    — No primeiro: 0&20&-2 to v2=0, dimensão 1.
    — No segundo: 1&0-1&0 to v1=0, dimensão 1.
    Somando, a multiplicidade geométrica de lambda=1 é 1+1=2.

Passo 5

Comparando multiplicidades algébrica e geométrica:
lambda=-1: alg=1, >=om=1; lambda=2: alg=1, >=om=1; lambda=1: alg=2, >=om=2
Como em todos os casos a multiplicidade geométrica iguala a algébrica, concluímos que T é diagonalizável.

Resposta

T é diagonalizável.

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