Determine quais matrizes abaixo são diagonalizáveis.
A=(lll1 & -3 & 3 3 & -5 & 3 6 & -6 & 4).

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = 1 & -3 & 3 [-6pt] 3 & -5 & 3 [-6pt] 6 & -6 & 4
e pede para determinar se A é diagonalizável. Para isso vamos usar o procedimento clássico de diagonalização:
1. Calcular o polinômio característico e encontrar os autovalores (e suas multiplicidades algébricas).
2. Para cada autovalor, calcular a multiplicidade geométrica (dimensão do espaço próprio).
3. Concluir se, para todo autovalor, a multiplicidade geométrica coincide com a algébrica.]

Passo 2

Calculamos o polinômio característico
det(A - lambda I) =det 1-lambda & -3 & 3 [-4pt] 3 & -5-lambda & 3 [-4pt] 6 & -6 & 4-lambda
Fazendo a expansão por cofactores, chega-se a
det(A - lambda I)=-lambda^3+12lambda+16,
ou seja,
lambda^3 -12lambda -16=0 ]

Passo 3

Para resolver lambda^3-12lambda-16=0 testamos lambda=4, pois divide 16, e verificamos
4^3 -12cdot4 -16 =64-48-16=0
Logo lambda=4 é raiz. Fazendo divisão sintética por (lambda-4) obtemos
lambda^3-12lambda-16 = (lambda-4)(lambda^2+4lambda+4) =(lambda-4)(lambda+2)^2
Os autovalores são
lambda1=4(ma=1), lambda2=-2(ma=2)

Passo 4

Agora verificamos a multiplicidade geométrica de , resolvendo
Todas as três equações colapsam em
que impõe apenas uma restrição. Assim o espaço próprio é de dimensão
isto é, a multiplicidade geométrica de é , igual à sua multiplicidade algébrica. Para a multiplicidade geométrica é pelo menos e não pode exceder , então também coincide.]

Passo 5

Como para todo autovalor a multiplicidade geométrica coincide com a multiplicidade algébrica, concluímos que A é diagonalizável.

Resposta

A matriz A é diagonalizável.

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