Determine se as matrizes abaixo são ou não diagonalizáveis (dizemos que uma matriz é diagonalizável se seu operador associado é diagonalizável, isto é, se, e somente se, admite autovetores LI).
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a matriz
A = 3 & 1 & 0 0 & 3 & 1 0 & 0 & 3
é diagonalizável, ou seja, se admite 3 autovetores linearmente independentes em R^3. Para isso, vamos calcular seus autovalores, suas multiplicidades algébrica e geométrica, e comparar.
Passo 2
Por ser triangular superior, os autovalores de A são os elementos da diagonal. Logo, o único autovalor é
lambda = 3,
com multiplicidade algébrica ma=3.
Passo 3
Calculamos o autoespaço associado a lambda=3 resolvendo
(A - 3I)x = 0
Temos
A - 3I = 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 ,
de modo que o sistema (A-3I)(x,y,z)^T=0 equivale a
y = 0, z = 0,
sem restrição sobre x. Portanto o autovetor geral é
(x,0,0)^T = x,(1,0,0)^T,
e a multiplicidade geométrica é
mg = 1
Passo 4
Como a multiplicidade geométrica mg=1 é estritamente menor que a multiplicidade algébrica ma=3, não há 3 autovetores independentes. Logo, a matriz Anão é diagonalizável.