Determine se as matrizes abaixo são ou não diagonalizáveis (dizemos que uma matriz An times n é diagonalizável se seu operador associado TA: R^n R^n é diagonalizável, isto é, se, e somente se, A admite n autovetores LI).
[lll3 & 1 & 0 0 & 3 & 1 0 & 0 & 3]

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a matriz
A = 3 & 1 & 0 0 & 3 & 1 0 & 0 & 3
é diagonalizável, ou seja, se admite 3 autovetores linearmente independentes em R^3. Para isso, vamos calcular seus autovalores, suas multiplicidades algébrica e geométrica, e comparar.

Passo 2

Por ser triangular superior, os autovalores de A são os elementos da diagonal. Logo, o único autovalor é
lambda = 3,
com multiplicidade algébrica ma=3.

Passo 3

Calculamos o autoespaço associado a lambda=3 resolvendo
(A - 3I)x = 0
Temos
A - 3I = 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 ,
de modo que o sistema (A-3I)(x,y,z)^T=0 equivale a
y = 0, z = 0,
sem restrição sobre x. Portanto o autovetor geral é
(x,0,0)^T = x,(1,0,0)^T,
e a multiplicidade geométrica é
mg = 1

Passo 4

Como a multiplicidade geométrica mg=1 é estritamente menor que a multiplicidade algébrica ma=3, não há 3 autovetores independentes. Logo, a matriz A não é diagonalizável.

Resposta

A matriz não é diagonalizável.

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