Determine se as matrizes abaixo são ou não diagonalizáveis (dizemos que uma matriz An times n é diagonalizável se seu operador associado TA: R^n R^n é diagonalizável, isto é, se, e somente se, A admite n autovetores LI).
[lll2 & 0 & 3 0 & 1 & 0 0 & 1 & 2]

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz
A = 2 & 0 & 3 0 & 1 & 0 0 & 1 & 2
é diagonalizável. Para isso, vamos usar o critério de diagonalização em R^n: A é diagonalizável se, e somente se, a soma das dimensões dos seus autespaços (multiplicidades geométricas) for n, o que equivale a cada autovalor ter multiplicidade geométrica igual à sua multiplicidade algébrica.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A:
det(A - lambda I) = det 2-lambda & 0 & 3 0 & 1-lambda & 0 0 & 1 & 2-lambda = (2-lambda),det1-lambda & 01 & 2-lambda = (2-lambda)^2,(1-lambda)
Logo existem dois autovalores:
lambda1 = 2 com multiplicidade algébrica 2
lambda2 = 1 com multiplicidade algébrica 1

Passo 3

Agora determinamos a dimensão de cada autespaço.
Para lambda=1:
A - I = 1 & 0 & 3 0 & 0 & 0 0 & 1 & 1
O sistema (A-I)v=0 dá as equações
x + 3z = 0, y + z = 0,
logo x=-3t, y=-t, z=t. Então o autespaço tem dimensão 1.
Para lambda=2:
A - 2I = 0 & 0 & 3 0 & -1 & 0 0 & 1 & 0
O sistema (A-2I)v=0 z=0 e y=0, com x livre. Logo o autespaço também tem dimensão 1.

Passo 4

As multiplicidades geométricas são
dim E1 = 1, dim E2 = 1,
cuja soma é 1 + 1 = 2 < 3. Como a soma das dimensões dos autespaços é menor que n=3, não há três autovetores linearmente independentes.

Resposta

A matriz não é diagonalizável, pois a multiplicidade geométrica do autovalor lambda=2 é 1, menor que sua multiplicidade algébrica 2.

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