Mostre que as matrizes abaixo são diagonalizáveis
[ll4 & 2 3 & 3]

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a matriz
A = 4 & 2 3 & 3
é diagonalizável. Para isso, vamos usar o critério de diagonalização: uma matriz de ordem 2 é diagonalizável se existir uma base de R^2 formada por autovetores de A. Em particular, basta verificar que o polinômio característico de A tem raízes distintas, o que garante dois autovetores linearmente independentes.

Passo 2

Calculemos o polinômio característico de A:
det(A - lambda I) = det4-lambda & 2 [6pt] 3 & 3-lambda = (4-lambda)(3-lambda) - 2 cdot 3 = lambda^2 -7lambda +6
Fatorando, obtemos
lambda^2 -7lambda +6 = (lambda -1)(lambda -6),
logo os autovalores são
lambda1 = 1 e lambda2 = 6, que são distintos.]

Passo 3

Para cada autovalor, encontramos um autovetor não-nulo resolvendo .
Para :
Escolhendo , temos o autovetor
Para :
Escolhendo , obtemos o autovetor

Passo 4

Os autovetores v1 e v2 são claramente linearmente independentes em R^2. Assim, formam uma base de autovetores para A. Portanto, existe matriz inversível P cujas colunas são v1,v2 e uma matriz diagonal D com entradas lambda1,lambda2 tais que
P^-1AP = D
Isso mostra que A é diagonalizável.

Resposta

A matriz
4 & 2 3 & 3
é diagonalizável, pois seus autovalores são 1 e 6 (raízes distintas do polinômio característico) e há dois autovetores linearmente independentes.

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