Seja P3 o conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a 3 , com coeficientes reais. Considere a base ordenada beta=1+x, 1+x^2, x-x^2+2 x^3, 1-x-x^2. Escreva as coordenadas do polinômio f(x)=-3+2 x^3 na base beta.

Passo 1

O enunciado fala do espaço P3 dos polinômios de grau até 3 e nos dá a base ordenada
beta=,1+x,;1+x^2,;x - x^2 + 2x^3,;1 - x - x^2
Ele pede as coordenadas do polinômio
f(x) = -3 + 2x^3
nessa base.

Passo 2

Vamos escrever f como combinação linear dos vetores de beta:
a(1+x) + b(1+x^2) + cl(x - x^2 + 2x^3r) + d(1 - x - x^2) ;=;-3 + 2x^3
Agrupando termos em cada potência de x:
constante: a+b+d, x: a + c - d, x^2: b - c - d, x^3: 2c

Passo 3

Igualamos aos coeficientes de
Da última equação vem (c=1].

Passo 4

Substituindo c=1 nas duas equações do meio:
a + 1 - d = 0 Rightarrow a = d - 1,
b - 1 - d = 0 Rightarrow b = d + 1
Agora a primeira equação fica
(d-1)+(d+1)+d = -3 Rightarrow 3d = -3 Rightarrow d = -1
Logo
a = -1 - 1 = -2, b = -1 + 1 = 0, c = 1, d = -1

Resposta

As coordenadas de f na base beta são
[f]beta = (-2,,0,,1,,-1)

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