Mostre que o conjunto S=1,1-x, 3+4 x+x^2 é uma base do espaço vetorial P2, de todos os polinômios com coeficientes reais de grau menor ou igual a 2.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
S = ,1,;1 - x,;3 + 4x + x^2
é uma base de P2, o espaço de todos os polinômios reais de grau <=2.
Conteúdo: espaços vetoriais, dimensão, independência linear e base. Vamos usar que dimP2 = 3 e que um conjunto de 3 vetores é base se, e só se, for linearmente independente (ou espanar).

Passo 2

Observação sobre dimensão. Sabemos que
dimP2 = 3
e S tem exatamente 3 elementos. Logo, basta provar que S é linearmente independente; daí segue que S espana P2 e, por ter 3 vetores em dimensão 3, é base.

Passo 3

Teste de independência linear. Considere a combinação linear nula
onde
Igualando coeficientes de , e termo constante, vem o sistema
Da primeira equação , ou seja . Finalmente da terceira dá . Então o único lugar em que a combinação anula é , logo é linearmente independente.

Passo 4

Conclusão. Como #S = 3 = dimP2 e S é linearmente independente, S é uma base de P2.

Resposta

O conjunto S é uma base de P2.

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