Mostre que o conjunto é uma base do espaço vetorial , de todos os polinômios com coeficientes reais de grau menor ou igual a 2.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
é uma base de , o espaço de todos os polinômios reais de grau .
Conteúdo: espaços vetoriais, dimensão, independência linear e base. Vamos usar que e que um conjunto de vetores é base se, e só se, for linearmente independente (ou espanar).
Passo 2
Observação sobre dimensão. Sabemos que
e tem exatamente elementos. Logo, basta provar que é linearmente independente; daí segue que espana e, por ter vetores em dimensão , é base.
Passo 3
Teste de independência linear. Considere a combinação linear nula
onde
Igualando coeficientes de , e termo constante, vem o sistema
Da primeira equação , ou seja . Finalmente da terceira dá . Então o único lugar em que a combinação anula é , logo é linearmente independente.
Passo 4
Conclusão. Como #S = 3 = dimP2 e S é linearmente independente, S é uma base de P2.