Mostre que as matrizes abaixo são diagonalizáveis
[ccc0 & -2 & 1 1 & 3 & -1 0 & 0 & 1]

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a matriz
A = 0 & -2 & 1 1 & 3 & -1 0 & 0 & 1
é diagonalizável. O conteúdo aqui é diagonalização de matrizes: vamos precisar encontrar seus autovalores e usar o fato de que uma matriz de ordem n com n autovalores distintos é diagonalizável.

Passo 2

Como A é triangular superior, seus autovalores são os elementos da diagonal. Logo o polinômio característico é
chiA(lambda)=(0-lambda),(3-lambda),(1-lambda)
e os autovalores são
lambda1=0, lambda2=3 e lambda3=1.

Passo 3

Cada autovalor aparece com multiplicidade algébrica 1. Pelo teorema de diagonalização, uma matriz de ordem 3 com três autovalores distintos tem três autovetores linearmente independentes e, portanto, é diagonalizável.

Resposta

A matriz A é diagonalizável, pois possui três autovalores distintos.

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