Determine, quais matrizes acima estão escalonadas.
& A=(llll 1 & 3 & 2 & 1 0 & 6 & 5 & 4 0 & 0 & 2 & 1 ) & B=(lll 0 & 3 & 2 1 & 4 & 6 0 & 0 & 8 ) & C=(llll 4 & 3 & 1 & 7 0 & 0 & 6 & 5 0 & 0 & 3 & 1 ) & D=(ll 3 & 1 0 & 4 0 & 0 0 & 0 0 & 0 ) & E=(ll 2 & 0 0 & 3 ) & F=(lll 5 & 4 & 3 0 & 2 & 0 0 & 1 & 5 0 & 0 & 0 ) & G=(ll 4 & 3 0 & 2 0 & 0 ) & H=(l 5 3 0 0 ) & I=(lll 3 & 3 & 1 0 & 0 & 2 ) J=(l 3 0 0 ) & K=(ll 3 & 4 0 & 0 0 & 1 0 & 0 ) & L=(lll 3 & 4 & 2 0 & 1 & 0 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0 ) & M=(lllll 0 & 1 & 2 & 0 & 9 0 & 0 & 0 & 8 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 ) & N=(lllll 4 & 2 & 2 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 3 & 1 & 2 & 1 0 & 0 & 2 & 5 & 6 ) & P=(llll 2 & 1 & 1 & 4 0 & 2 & 5 & 7 0 & 0 & 2 & 1 0 & 0 & 0 & 4 0 & 0 & 0 & 2 )

Passo 1

O enunciado pede para identificar quais dessas matrizes estão em forma escalonada (row echelon form). Lembrete da definição de forma escalonada por linhas:
1. Todas as linhas nulas (se existirem) aparecem abaixo das linhas não nulas.
2. Em cada linha não nula, o primeiro elemento não nulo (pivot) fica estritamente à direita do pivot da linha anterior.
3. Abaixo de cada pivot todos os elementos são zero.

Passo 2

Vamos anotar para cada matriz a posição do seu pivot em cada linha não nula e onde aparecem linhas nulas:
  • Matriz A ( 3times 4):
    linhas não nulas em ordem com pivots em colunas ,1,2,3, sem linhas nulas.
  • Matriz B ( 3times 3):
    pivots em colunas ,2 na linha 1 e ,1 na linha 2.
  • Matriz C ( 3times 4):
    pivots em colunas ,1 na linha 1, ,3 na linha 2, ,3 na linha 3.
  • Matriz D ( 5times 2):
    pivots em colunas ,1 na linha 1, ,2 na linha 2; linhas 3 5 todas nulas.
  • Matriz E ( 2times 2):
    pivots em colunas ,1 na linha 1, ,2 na linha 2.
  • Matriz F ( 4times 3):
    pivots em colunas ,1 na linha 1, ,2 na linha 2, ,2 na linha 3; linha 4 nula.
  • Matriz G ( 3times 2):
    pivots em colunas ,1 na linha 1, ,2 na linha 2; linha 3 nula.
  • Matriz H ( 4times 1):
    pivots em colunas ,1 na linha 1, ,1 na linha 2; linhas 3 4 nulas.
  • Matriz I ( 2times 3):
    pivots em colunas ,1 na linha 1, ,3 na linha 2.
  • Matriz J ( 3times 1):
    pivot em coluna ,1 na linha 1; linhas 2 3 nulas.
  • Matriz K ( 4times 2):
    pivot em coluna ,1 na linha 1; linha 2 nula; pivot em coluna ,2 na linha 3; linha 4 nula.
  • Matriz L ( 4times 3):
    pivots em colunas ,1,2,3 nas linhas 1,2, 3; linha 4 nula.
  • Matriz M ( 3times 5):
    pivots em colunas ,2 na linha 1, ,4 na linha 2; linha 3 nula.
  • Matriz N ( 4times 5):
    pivot em coluna ,1 na linha 1; linha 2 nula; pivots em colunas ,2 na linha 3, ,3 na linha 4.
  • Matriz P ( 5times 4):
    pivots em colunas ,1,2,3,4 nas linhas 1 4; linha 5 não é nula mas seu pivot volta a coluna 4.

Passo 3

Agora aplicamos as condições de forma escalonada:
  • As linhas nulas devem ficar ao final (nenhuma linha nula antes de uma não nula).
  • As colunas de pivots devem aumentar estritamente de cima para baixo.
Verificação rápida:
  • A: não há linhas nulas e pivots em 1<2<3. to escalonada.
  • B: pivots em 2 depois em 1 (vai para a esquerda) to não.
  • C: pivots em 3 e depois novamente em 3 to não.
  • D: pivots em 1<2 e todas as nulas embaixo to escalonada.
  • E: pivots em 1<2 to escalonada.
  • F: pivots em 2 seguido de pivô em 2 to não.
  • G: pivots em 1<2 e linha nula no fim to escalonada.
  • H: pivots em 1 e depois em 1 (não avança) to não.
  • I: pivots em 1<3 to escalonada.
  • J: um único pivot e depois zeros to escalonada.
  • K: há linha nula entre linhas não nulas to não.
  • L: pivots em 1<2<3 e a linha nula no fim to escalonada.
  • M: pivots em 2<4 e a linha nula no fim to escalonada.
  • N: há linha nula antes de pivots de baixo to não.
  • P: último pivot volta à coluna 4 (repetição) to não.

Resposta

As matrizes que estão em forma escalonada são
A, D, E, G, I, J, L e M.

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