Determine, quais matrizes acima estão escalonadas.
Passo 1
O enunciado pede para identificar quais dessas matrizes estão em forma escalonada (row echelon form). Lembrete da definição de forma escalonada por linhas:
1. Todas as linhas nulas (se existirem) aparecem abaixo das linhas não nulas. 2. Em cada linha não nula, o primeiro elemento não nulo (pivot) fica estritamente à direita do pivot da linha anterior. 3. Abaixo de cada pivot todos os elementos são zero.
Passo 2
Vamos anotar para cada matriz a posição do seu pivot em cada linha não nula e onde aparecem linhas nulas:
Matriz A (3times 4):
linhas não nulas em ordem com pivots em colunas ,1,2,3, sem linhas nulas.
Matriz B (3times 3):
pivots em colunas ,2 na linha 1 e ,1 na linha 2.
Matriz C (3times 4):
pivots em colunas ,1 na linha 1, ,3 na linha 2, ,3 na linha 3.
Matriz D (5times 2):
pivots em colunas ,1 na linha 1, ,2 na linha 2; linhas 3–5 todas nulas.
Matriz E (2times 2):
pivots em colunas ,1 na linha 1, ,2 na linha 2.
Matriz F (4times 3):
pivots em colunas ,1 na linha 1, ,2 na linha 2, ,2 na linha 3; linha 4 nula.
Matriz G (3times 2):
pivots em colunas ,1 na linha 1, ,2 na linha 2; linha 3 nula.
Matriz H (4times 1):
pivots em colunas ,1 na linha 1, ,1 na linha 2; linhas 3–4 nulas.
Matriz I (2times 3):
pivots em colunas ,1 na linha 1, ,3 na linha 2.
Matriz J (3times 1):
pivot em coluna ,1 na linha 1; linhas 2–3 nulas.
Matriz K (4times 2):
pivot em coluna ,1 na linha 1; linha 2 nula; pivot em coluna ,2 na linha 3; linha 4 nula.
Matriz L (4times 3):
pivots em colunas ,1,2,3 nas linhas 1,2,3; linha 4 nula.
Matriz M (3times 5):
pivots em colunas ,2 na linha 1, ,4 na linha 2; linha 3 nula.
Matriz N (4times 5):
pivot em coluna ,1 na linha 1; linha 2 nula; pivots em colunas ,2 na linha 3, ,3 na linha 4.
Matriz P (5times 4):
pivots em colunas ,1,2,3,4 nas linhas 1–4; linha 5 não é nula mas seu pivot volta a coluna 4.
Passo 3
Agora aplicamos as condições de forma escalonada:
As linhas nulas devem ficar ao final (nenhuma linha nula antes de uma não nula).
As colunas de pivots devem aumentar estritamente de cima para baixo.
Verificação rápida:
A: não há linhas nulas e pivots em 1<2<3. toescalonada.
B: pivots em 2 depois em 1 (vai para a esquerda) tonão.
C: pivots em 3 e depois novamente em 3 tonão.
D: pivots em 1<2 e todas as nulas embaixo toescalonada.
E: pivots em 1<2 toescalonada.
F: pivots em 2 seguido de pivô em 2 tonão.
G: pivots em 1<2 e linha nula no fim toescalonada.
H: pivots em 1 e depois em 1 (não avança) tonão.
I: pivots em 1<3 toescalonada.
J: um único pivot e depois zeros toescalonada.
K: há linha nula entre linhas não nulas tonão.
L: pivots em 1<2<3 e a linha nula no fim toescalonada.
M: pivots em 2<4 e a linha nula no fim toescalonada.
N: há linha nula antes de pivots de baixo tonão.
P: último pivot volta à coluna 4 (repetição) tonão.
Resposta
As matrizes que estão em forma escalonada são A, D, E, G, I, J, L e M.