Determine as matrizes das composições de transformações lineares T=T2 circ T1 e T^prime=T1 circ T2 em relação a base canônica.
T1(x, y)=(x, y,-y) e T2(x, y, z)=(y, z)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar as matrizes das composições de duas transformações lineares, T = T2 circ T1 e T' = T1 circ T2 , usando a base canônica. Vamos precisar entender como compor essas transformações e depois encontrar as matrizes correspondentes para cada uma delas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada transformação faz:
  • T1 pega um vetor de ℝ², digamos (x, y) , e transforma em um vetor de ℝ³: T1(x, y) = (x, y, -y) .
  • T2 pega um vetor de ℝ³, digamos (x, y, z) , e transforma em um vetor de ℝ²: T2(x, y, z) = (y, z) .
Nossa missão é encontrar as matrizes que representam as composições dessas transformações na base canônica.

Passo 3

Vamos começar encontrando as matrizes das transformações individuais T1 e T2 .
Para T1: ℝ² ℝ³ ²³, a matriz A terá 3 linhas e 2 colunas, pois transforma um vetor de 2 dimensões em 3 dimensões. Cada coluna da matriz corresponde à imagem dos vetores da base canônica de ℝ².
  • Imagem de (1, 0) através de T1 : (1, 0, 0)
  • Imagem de (0, 1) através de T1 : (0, 1, -1)
Então, a matriz de T1 é:
A = 1 & 0 0 & 1 0 & -1
Para T2: ℝ³ ℝ² ³², a matriz B terá 2 linhas e 3 colunas. Cada coluna da matriz corresponde à imagem dos vetores da base canônica de ℝ³.
  • Imagem de (1, 0, 0) através de T2 : (0, 0)
  • Imagem de (0, 1, 0) através de T2 : (1, 0)
  • Imagem de (0, 0, 1) através de T2 : (0, 1)
Então, a matriz de T2 é:
B = 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1

Passo 4

Agora, vamos compor as transformações para encontrar T = T2 circ T1 e T' = T1 circ T2 .
Para compor as transformações, multiplicamos as matrizes correspondentes. A ordem da multiplicação importa!
Primeiro, para T = T2 circ T1 , multiplicamos B por A :
C = B times A = 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 times 1 & 0 0 & 1 0 & -1 = 0 times 1 + 1 times 0 + 0 times 0 & 0 times 0 + 1 times 1 + 0 times (-1) 0 times 1 + 0 times 0 + 1 times 0 & 0 times 0 + 0 times 1 + 1 times (-1) = 0 & 1 0 & -1
Então, a matriz de T = T2 circ T1 é:
C = 0 & 1 0 & -1

Passo 5

Agora, para T' = T1 circ T2 , multiplicamos A por B :
D = A times B = 1 & 0 0 & 1 0 & -1 times 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1
Mas atenção: A é 3x2 e B é 2x3, então o resultado será uma matriz 3x3.
Fazendo a multiplicação:
D = 1 times 0 + 0 times 0 & 1 times 1 + 0 times 0 & 1 times 0 + 0 times 1 0 times 0 + 1 times 0 & 0 times 1 + 1 times 0 & 0 times 0 + 1 times 1 0 times 0 + (-1) times 0 & 0 times 1 + (-1) times 0 & 0 times 0 + (-1) times 1 = 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & -1
Então, a matriz de T' = T1 circ T2 é:
D = 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & -1

Resposta

A matriz da transformação T = T2 circ T1 em relação à base canônica é:
0 & 1 0 & -1
E a matriz da transformação T' = T1 circ T2 em relação à base canônica é:
0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & -1

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