Determine as matrizes das composições de transformações lineares e em relação a base canônica. e
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar as matrizes das composições de duas transformações lineares, e , em relação à base canônica. Para resolver isso, vamos precisar entender como representar transformações lineares por matrizes e como compor essas matrizes. Bora lá!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as transformações lineares que temos:
Essas transformações mapeiam vetores de um espaço para outro. Para trabalhar com elas, precisamos representá-las por matrizes na base canônica.
Passo 3
Vamos começar encontrando a matriz de . Para isso, aplicamos aos vetores da base canônica do domínio de , que são e .
Calculando:
Então, a matriz de em relação à base canônica é:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a matriz de T2 . Aplicamos T2 aos vetores da base canônica do domínio de T2 , que são e1 = (1, 0, 0) , e2 = (0, 1, 0) e e3 = (0, 0, 1) .
Calculando:
T2(1, 0, 0) = (1 - 2*0,, 0 + 2*1) = (1,, 2)
T2(0, 1, 0) = (0 - 2*1,, 0 + 2*0) = (-2,, 0)
T2(0, 0, 1) = (0 - 2*0,, 1 + 2*0) = (0,, 1)
Então, a matriz de T2 em relação à base canônica é:
AT2 = 1 & -2 & 0 2 &, 0 & 1
Passo 5
Agora que temos as matrizes de T1 e T2 , vamos encontrar as matrizes das composições T = T2 circ T1 e T' = T1 circ T2 .
Lembrando que a composição de transformações lineares corresponde ao produto das matrizes correspondentes. Ou seja: