Determine as matrizes das composições de transformações lineares T=T2 circ T1 e T^prime=T1 circ T2 em relação a base canônica.
T1(x, y)=(-2 x+3 y, x+y, x-2 y) e T2(x, y, z)=(x-2 y, z+2 x)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar as matrizes das composições de duas transformações lineares, T = T2 circ T1 e T' = T1 circ T2 , em relação à base canônica. Para resolver isso, vamos precisar entender como representar transformações lineares por matrizes e como compor essas matrizes. Bora lá!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as transformações lineares que temos:
  • T1(x, y) = (-2x + 3y,, x + y,, x - 2y)
  • T2(x, y, z) = (x - 2y,, z + 2x)
Essas transformações mapeiam vetores de um espaço para outro. Para trabalhar com elas, precisamos representá-las por matrizes na base canônica.

Passo 3

Vamos começar encontrando a matriz de T1 . Para isso, aplicamos T1 aos vetores da base canônica do domínio de T1 , que são e1 = (1, 0) e e2 = (0, 1) .
Calculando:
  • T1(1, 0) = (-2*1 + 3*0,, 1 + 0,, 1 - 2*0) = (-2,, 1,, 1)
  • T1(0, 1) = (-2*0 + 3*1,, 0 + 1,, 0 - 2*1) = (3,, 1,, -2)
Então, a matriz de T1 em relação à base canônica é:
AT1 = -2 & 3 1 & 1 1 & -2

Passo 4

Agora, vamos encontrar a matriz de T2 . Aplicamos T2 aos vetores da base canônica do domínio de T2 , que são e1 = (1, 0, 0) , e2 = (0, 1, 0) e e3 = (0, 0, 1) .
Calculando:
  • T2(1, 0, 0) = (1 - 2*0,, 0 + 2*1) = (1,, 2)
  • T2(0, 1, 0) = (0 - 2*1,, 0 + 2*0) = (-2,, 0)
  • T2(0, 0, 1) = (0 - 2*0,, 1 + 2*0) = (0,, 1)
Então, a matriz de T2 em relação à base canônica é:
AT2 = 1 & -2 & 0 2 &, 0 & 1

Passo 5

Agora que temos as matrizes de T1 e T2 , vamos encontrar as matrizes das composições T = T2 circ T1 e T' = T1 circ T2 .
Lembrando que a composição de transformações lineares corresponde ao produto das matrizes correspondentes. Ou seja:
AT = AT2 cdot AT1
AT' = AT1 cdot AT2
Vamos calcular cada uma delas.

Calculando AT = AT2 cdot AT1 :

AT = 1 & -2 & 0 2 &, 0 & 1 cdot -2 & 3 1 & 1 1 & -2
Multiplicando as matrizes:
  • Primeira linha, primeira coluna:
    (1)(-2) + (-2)(1) + (0)(1) = -2 - 2 + 0 = -4
  • Primeira linha, segunda coluna:
    (1)(3) + (-2)(1) + (0)(-2) = 3 - 2 + 0 = 1
  • Segunda linha, primeira coluna:
    (2)(-2) + (0)(1) + (1)(1) = -4 + 0 + 1 = -3
  • Segunda linha, segunda coluna:
    (2)(3) + (0)(1) + (1)(-2) = 6 + 0 - 2 = 4
Então,
AT = -4 & 1 -3 & 4

Calculando AT' = AT1 cdot AT2 :

AT' = -2 & 3 1 & 1 1 & -2 cdot 1 & -2 & 0 2 &, 0 & 1
Multiplicando as matrizes:
  • Primeira linha, primeira coluna:
    (-2)(1) + (3)(2) = -2 + 6 = 4
  • Primeira linha, segunda coluna:
    (-2)(-2) + (3)(0) = 4 + 0 = 4
  • Primeira linha, terceira coluna:
    (-2)(0) + (3)(1) = 0 + 3 = 3
  • Segunda linha, primeira coluna:
    (1)(1) + (1)(2) = 1 + 2 = 3
  • Segunda linha, segunda coluna:
    (1)(-2) + (1)(0) = -2 + 0 = -2
  • Segunda linha, terceira coluna:
    (1)(0) + (1)(1) = 0 + 1 = 1
  • Terceira linha, primeira coluna:
    (1)(1) + (-2)(2) = 1 - 4 = -3
  • Terceira linha, segunda coluna:
    (1)(-2) + (-2)(0) = -2 + 0 = -2
  • Terceira linha, terceira coluna:
    (1)(0) + (-2)(1) = 0 - 2 = -2
Então,
AT' = 4 & 4 & 3 3 & -2 & 1 -3 & -2 & -2

Resposta

As matrizes das composições de transformações lineares são:
AT = -4 & 1 -3 & 4 e AT' = 4 & 4 & 3 3 & -2 & 1 -3 & -2 & -2

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