Determine se as transformações lineares a seguir são invertíveis. Caso positivo, determine suas inversas.
T(x, y)=(-4 x, 4 y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para descobrir se a transformação linear T(x, y) = (-4x, 4y) é invertível. Se for, temos que achar a inversa dela. Vamos usar conceitos de matrizes e determinantes para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos representar a transformação T como uma matriz. Cada transformação linear no plano pode ser escrita assim:
A = -4 & 0 0 & 4

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz para ver se ela é invertível. O determinante é calculado por:
det(A) = (-4)(4) - (0)(0) = -16
Como o determinante é diferente de zero ( -16 neq 0), isso significa que a matriz A é invertível.

Passo 4

Com a certeza de que A é invertível, vamos encontrar a matriz inversa A^-1 . Para uma matriz diagonal como essa, a inversa é simplesmente pegar o inverso de cada elemento da diagonal principal:
A^-1 = -dfrac14 & 0 0 & dfrac14

Passo 5

Finalmente, vamos traduzir a matriz inversa de volta para a transformação linear. Se A^-1 é a matriz inversa, então a transformação inversa T^-1 é dada por:
T^-1(u, v) = ( -dfracu4, dfracv4 )

Resposta

Sim, a transformação linear T é invertível. A sua inversa é T^-1(u, v) = ( -dfracu4, dfracv4 ) .

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