Determine se as transformações lineares a seguir são invertíveis. Caso positivo, determine suas inversas.
T(x, y)=(x+y, 3 x-3 y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! A gente precisa descobrir se a transformação linear T(x, y) = (x + y, 3x - 3y) é invertível. Se for, também vamos achar a transformação inversa. Para isso, vamos usar conceitos de matrizes e determinantes, que são ferramentas matemáticas que ajudam a entender melhor essas transformações.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar a função T(x, y) em uma matriz. Isso facilita muito na hora de calcular se ela é invertível. A transformação T(x, y) = (x + y, 3x - 3y) pode ser representada pela matriz A :
A = 1 & 1 3 & -3

Passo 3

Agora, precisamos verificar se essa matriz A é invertível. Uma matriz quadrada é invertível se e somente se o seu determinante for diferente de zero. Vamos calcular o determinante de A :
det(A) = (1)(-3) - (1)(3) = -3 - 3 = -6
Como o determinante é -6 (que é diferente de zero), a matriz A é invertível, e portanto, a transformação T também é invertível.

Passo 4

Com certeza, agora que sabemos que A é invertível, vamos achar a matriz inversa A^-1 . A fórmula para a matriz inversa de uma matriz 2x2 é:
A^-1 = 1det(A) d & -b -c & a
Onde a, b, c, d são os elementos da matriz A = a & b c & d .
Aplicando isso na nossa matriz:
A^-1 = 1-6 -3 & -1 -3 & 1 = 12 & 16 12 & -16

Passo 5

Agora, vamos traduzir a matriz inversa A^-1 de volta para a transformação linear. Se A^-1 = 12 & 16 12 & -16 , então a transformação inversa T^-1(u, v) é dada por:
T^-1(u, v) = ( 12u + 16v, 12u - 16v )

Resposta

Sim, a transformação linear T(x, y) = (x + y, 3x - 3y) é invertível. A transformação inversa é:
T^-1(u, v) = ( 12u + 16v, 12u - 16v )

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