Determine e para que as matrizes B=[rra & -1 3 & b] comutem.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de álgebra linear onde queremos encontrar os valores de a e b para que as matrizes A e B comutem, ou seja, AB = BA . Para isso, vamos precisar entender como multiplicar matrizes e igualar os resultados obtidos em cada ordem de multiplicação.
Passo 2
Primeiro, vamos multiplicar a matriz A pela matriz B :
A = 2 & 3 -9 & 5 , B = a & -1 3 & b
A multiplicação AB é feita multiplicando as linhas de A pelas colunas de B :
AB = 2 cdot a + 3 cdot 3 & 2 cdot (-1) + 3 cdot b -9 cdot a + 5 cdot 3 & -9 cdot (-1) + 5 cdot b = 2a + 9 & -2 + 3b -9a + 15 & 9 + 5b
Passo 3
Agora, vamos multiplicar a matriz B pela matriz A :
BA = a & -1 3 & b 2 & 3 -9 & 5
A multiplicação BA é feita multiplicando as linhas de B pelas colunas de A :
BA = a cdot 2 + (-1) cdot (-9) & a cdot 3 + (-1) cdot 5 3 cdot 2 + b cdot (-9) & 3 cdot 3 + b cdot 5 = 2a + 9 & 3a - 5 6 - 9b & 9 + 5b
Passo 4
Para que as matrizes [A) e comutem, deve ser igual a . Então, igualamos as respectivas entradas das matrizes:
Observamos que as equações são sempre verdadeiras e não nos dão novas informações. Restam as duas equações:
Passo 5
Vamos resolver o sistema de equações:
Da primeira equação:
-2 + 3b = 3a - 5 implies 3b = 3a - 3 implies b = a - 1