Determine a e b para que as matrizes A=[rr2 & 3 -9 & 5] e B=[rra & -1 3 & b] comutem.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de álgebra linear onde queremos encontrar os valores de a e b para que as matrizes A e B comutem, ou seja, AB = BA . Para isso, vamos precisar entender como multiplicar matrizes e igualar os resultados obtidos em cada ordem de multiplicação.

Passo 2

Primeiro, vamos multiplicar a matriz A pela matriz B :
A = 2 & 3 -9 & 5 , B = a & -1 3 & b
A multiplicação AB é feita multiplicando as linhas de A pelas colunas de B :
AB = 2 cdot a + 3 cdot 3 & 2 cdot (-1) + 3 cdot b -9 cdot a + 5 cdot 3 & -9 cdot (-1) + 5 cdot b = 2a + 9 & -2 + 3b -9a + 15 & 9 + 5b

Passo 3

Agora, vamos multiplicar a matriz B pela matriz A :
BA = a & -1 3 & b 2 & 3 -9 & 5
A multiplicação BA é feita multiplicando as linhas de B pelas colunas de A :
BA = a cdot 2 + (-1) cdot (-9) & a cdot 3 + (-1) cdot 5 3 cdot 2 + b cdot (-9) & 3 cdot 3 + b cdot 5 = 2a + 9 & 3a - 5 6 - 9b & 9 + 5b

Passo 4

Para que as matrizes [A) e comutem, deve ser igual a . Então, igualamos as respectivas entradas das matrizes:
Observamos que as equações são sempre verdadeiras e não nos dão novas informações. Restam as duas equações:

Passo 5

Vamos resolver o sistema de equações:
  1. Da primeira equação:
-2 + 3b = 3a - 5 implies 3b = 3a - 3 implies b = a - 1
  1. Substituindo b = a - 1 na segunda equação:
-9a + 15 = 6 - 9(a - 1) -9a + 15 = 6 - 9a + 9 -9a + 15 = -9a + 15
Isso confirma que qualquer valor de a satisfaz a equação, desde que b = a - 1 .

Resposta

Os valores de a e b que fazem as matrizes A e B comutarem são:
b = a - 1
onde a pode ser qualquer número real.

Exercícios relacionados