Seja um operador linear. Diremos que é um autovalor de e um autovetor de associado a se . Neste sentido, determine os autovalores e autovetores associados áos operadores lineares a seguir.
Passo 1
O enunciado define o operador linear
Queremos encontrar todos os autovalores e, para cada um, os vetores não nulos tais que
Para cada lambda resolvemos T(a x^2+b x+c)=lambda(a x^2+b x+c).
lambda=1:
T(a x^2+b x+c)=a x^2+c x+b ;stackrel!=; a x^2+b x+c
Igualando coeficientes em x e termo constante dá c=b. Logo
p(x)=a x^2+b x+b=a,x^2+b(x+1),
com a,b nem sempre ambos zero. Uma base do espaço próprio é ,x^2,,x+1.
lambda=-1:
T(a x^2+b x+c)=a x^2+c x+b ;stackrel!=; -a x^2-b x-c
Igualando coeficientes em x^2 vem a=0, e em x e termo independente dá c=-b. Logo
p(x)=b x+c=b x - b = b,(x-1),
com bneq0. Uma base do espaço próprio é ,x-1.
Resposta
Autovalores e autovetores de T: lambda=1, espaço próprio ,a x^2+b(x+1)mid (a,b)neq(0,0), por exemplo base x^2,,x+1. lambda=-1, espaço próprio ,c(x-1)mid cneq0, por exemplo base x-1.