Seja T: V V um operador linear. Diremos que lambda é um autovalor de T e v neq 0 um autovetor de T associado a lambda se T(v)=lambda cdot v. Neste sentido, determine os autovalores e autovetores associados áos operadores lineares a seguir.
T: P2 P2, T(a x^2+b x+c)=a x^2+c x+b

Passo 1

O enunciado define o operador linear
Tcolon P2toP2, Tl(a x^2+b x+cr)=a x^2+c x+b
Queremos encontrar todos os autovalores lambda e, para cada um, os vetores não nulos p(x)=a x^2+b x+c tais que
Tl(p(x)r)=lambda,p(x)

Passo 2

Escolhemos a base B=x^2,,x,,1. Calculamos
T(x^2)=x^2, T(x)=1, T(1)=x
Logo, a matriz de T em relação a B é
[T]B= 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0
O polinômio característico é
detl([T]B-lambda Ir) = 1-lambda & 0 & 0 0 & -lambda & 1 0 & 1 & -lambda =(1-lambda)l(lambda^2-1r) =(1-lambda)^2(lambda+1)
Portanto os autovalores são
lambda=1(mu<iplicidade algébrica 2), lambda=-1(mu<iplicidade algébrica 1) éé

Passo 3

Para cada lambda resolvemos T(a x^2+b x+c)=lambda(a x^2+b x+c).
  1. lambda=1:
    T(a x^2+b x+c)=a x^2+c x+b ;stackrel!=; a x^2+b x+c
    Igualando coeficientes em x e termo constante dá c=b. Logo
    p(x)=a x^2+b x+b=a,x^2+b(x+1),
    com a,b nem sempre ambos zero. Uma base do espaço próprio é ,x^2,,x+1.
  2. lambda=-1:
    T(a x^2+b x+c)=a x^2+c x+b ;stackrel!=; -a x^2-b x-c
    Igualando coeficientes em x^2 vem a=0, e em x e termo independente dá c=-b. Logo
    p(x)=b x+c=b x - b = b,(x-1),
    com bneq0. Uma base do espaço próprio é ,x-1.

Resposta

Autovalores e autovetores de T:
lambda=1, espaço próprio ,a x^2+b(x+1)mid (a,b)neq(0,0), por exemplo base x^2,,x+1.
lambda=-1, espaço próprio ,c(x-1)mid cneq0, por exemplo base x-1.

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