Seja T: V V um operador linear. Diremos que lambda é um autovalor de T e v neq 0 um autovetor de T associado a lambda se T(v)=lambda cdot v. Neste sentido, determine os autovalores e autovetores associados áos operadores lineares a seguir.
T: R^3 R^3, T(x, y, z)=(x+y, x-y+2 z, 2 x+y-z)

Passo 1

O enunciado pede para a gente determinar os autovalores lambda e os autovetores não nulos vec v do operador linear
TcolonR^3toR^3, T(x,y,z)=(x+y,;x-y+2z,;2x+y-z)
O conteúdo é encontrar a matriz de T na base canônica, calcular o polinômio característico det(A-lambda I)=0 para achar os autovalores e, em seguida, resolver (A-lambda I)vec v=vec 0 para cada lambda e obter os autovetores.

Passo 2

Vamos escrever a matriz A de T na base canônica e1,e2,e3. Como
T(x,y,z) =l(1cdot x+1cdot y+0cdot z,;1cdot x-1cdot y+2cdot z,;2cdot x+1cdot y-1cdot zr),
temos
A = 1 & 1 & 0 1 & -1 & 2 2 & 1 & -1
Para achar os autovalores, impomos
detl(A-lambda Ir)=0

Passo 3

Calculemos
A-lambda I = 1-lambda & 1 & 0 1 & -1-lambda & 2 2 & 1 & -1-lambda ,
então
det(A-lambda I) =(1-lambda)det-1-lambda & 21 & -1-lambda -1det1 & 22 & -1-lambda
Fazendo as contas, chega-se a
det(A-lambda I) =-(lambda^3+lambda^2-4lambda-4) =-(lambda-2)(lambda+1)(lambda+2)
Logo os autovalores são
lambda1=2, lambda2=-1, lambda3=-2

Passo 4

Agora, para cada [\lambda), resolvemos :
  1. :
Autovetores: .
  1. :
Autovetores: .
  1. :
Autovetores: .

Resposta

Autovalores e autovetores de T:
lambda=2, autovetores ,t(1,1,1)mid tneq0
lambda=-1, autovetores ,t(2,-4,-1)mid tneq0
lambda=-2, autovetores ,t(1,-3,1)mid tneq0

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