Determine se as matrizes
A=[ll 1 & 1 0 & 0 ], B=[ll 0 & 1 1 & 0 ], C=[rr 0 & 0 -1 & -1 ] e D=[rr 0 & 0 0 & -1 ]
formam uma base de M(2,2).

Passo 1

O enunciado pede para decidir se as matrizes
A=1 & 10 & 0, B=0 & 11 & 0, C=0 & 0-1 & -1, D=0 & 00 & -1
formam uma base de M(2,2). Sabemos que M(2,2) é um espaço vetorial de dimensão 4, então basta mostrar que esses quatro vetores (matrizes) são linearmente independentes.

Passo 2

Considere a combinação linear
alpha A + beta B + gamma C + de<a D = 02times2
Escrevendo entrywise, isso dá o sistema
alpha = 0, &(posição (1,1)) alpha + beta = 0, &(posição (1,2)) beta - gamma = 0, &(posição (2,1)) -gamma - de<a = 0, &(posição (2,2)) çãçãçãçã
Da primeira equação vem alpha=0. Substituindo em alpha+beta=0 obtém-se beta=0. Então de beta-gamma=0 segue gamma=0 e finalmente de -gamma-de<a=0 segue de<a=0.

Passo 3

Como a única solução é alpha=beta=gamma=de<a=0, as matrizes são linearmente independentes. E sendo quatro vetores num espaço de dimensão 4, elas formam uma base de M(2,2).

Resposta

Sim, A,B,C,D formam uma base de M(2,2).

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