Verifique se B=(1,1),(-1,0) é base do R^2.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se B=(1,1),(-1,0) é uma base de R^2. O conteúdo é teoria de espaços vetoriais: definimos base como um conjunto de vetores que seja linearmente independente e que gere todo o espaço. Para R^2, basta mostrar que os dois vetores são linearmente independentes.

Passo 2

Lembrando a definição, um conjunto de vetores em R^2 é base se e somente se satisfizer:
  1. linearmente independente, e
  2. contiver exatamente dois vetores (o que garante a geração de R^2 quando eles são independentes).
Aqui temos dois vetores, então só precisamos testar a independência linear.

Passo 3

Façamos o teste de independência linear considerando a combinação
a,(1,1) + b,(-1,0) = (0,0)
Isto gera o sistema de equações
a - b = 0, a = 0
Da segunda equação vem a=0. Substituindo na primeira obtemos -b=0, ou seja b=0. Como a única solução é a=b=0, os vetores são linearmente independentes.

Passo 4

Tendo dois vetores linearmente independentes em R^2, eles automaticamente geram todo o espaço. Logo B satisfaz os dois requisitos de base.

Resposta

Sim, B é uma base de R^2.

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