Verifique se
é base do
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se
é uma base de
. O conteúdo é teoria de espaços vetoriais: definimos base como um conjunto de vetores que seja linearmente independente e que gere todo o espaço. Para
, basta mostrar que os dois vetores são linearmente independentes.
Passo 2
Lembrando a definição, um conjunto de vetores em
é base se e somente se satisfizer:
- linearmente independente, e
- contiver exatamente dois vetores (o que garante a geração de
quando eles são independentes).
Aqui temos dois vetores, então só precisamos testar a independência linear.
Passo 3
Façamos o teste de independência linear considerando a combinação
Isto gera o sistema de equações
Da segunda equação vem
. Substituindo na primeira obtemos
, ou seja
. Como a única solução é
, os vetores são linearmente independentes.
Passo 4
Tendo dois vetores linearmente independentes em
, eles automaticamente geram todo o espaço. Logo
satisfaz os dois requisitos de base.
Resposta
Sim,
é uma base de
.