Quais das seguintes funções T são lineares? Justifique.
T: R^2 R^2 tal que T(x, y)=(1+x, y);

Passo 1

O enunciado nos dá a transformação
TcolonR^2toR^2 definida por
T(x,y) = (1+x,;y)
Queremos verificar se T é linear, isto é, se satisfaz aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Uma aplicação T é linear se, para quaisquer vetores u,vinR^2 e escalar alpha, valem:
T(u+v) ;=; T(u) + T(v),
T(alpha,u) ;=; alpha,T(u)

Passo 3

Basta observar a imagem do vetor nulo:
T(0,0) = (1+0,;0) = (1,0)
Por definição, toda transformação linear deve enviar o vetor nulo em (0,0). Aqui obtemos
(1,0)neq(0,0),
logo T não pode ser linear.

Resposta

A transformação T(x,y)=(1+x,y) não é linear, pois não satisfaz T(0,0)=(0,0).

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