Determine as matrizes inversas, caso existam, pelo método de escalonamento de Gauss-Jordan.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de matrizes e precisa descobrir se essa matriz tem inversa usando o método de escalonamento de Gauss-Jordan. Basicamente, isso significa que vamos manipular a matriz original até transformá-la em uma matriz identidade, fazendo as mesmas operações em uma matriz identidade ao lado. Se conseguirmos, a matriz inversa vai estar do outro lado. Vamos precisar ter uma noção básica de operações com matrizes e entender como funciona o método de Gauss-Jordan.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz original e ao lado dela uma matriz identidade 3x3. Isso forma um sistema aumentado que vamos manipular:
Passo 3
O objetivo é transformar a parte da esquerda (a matriz original) na matriz identidade. Vamos começar pela primeira coluna. Já temos um 1 na posição (1,1), o que é ótimo. Agora, vamos eliminar os números abaixo desse 1 na primeira coluna.
Para fazer isso, vamos:
- Subtrair 2 vezes a primeira linha da segunda linha.
- Subtrair 4 vezes a primeira linha da terceira linha.
Vamos fazer essas operações:
Nova linha 2 = Linha 2 - 2 * Linha 1
Nova linha 3 = Linha 3 - 4 * Linha 1
Aplicando:
Passo 4
Agora, vamos trabalhar com a segunda coluna. Queremos ter um 1 na posição (2,2). Atualmente, temos -1 lá, então vamos multiplicar a segunda linha por -1 para ajustar:
Nova linha 2 = -1 * Linha 2
Ficando assim:
Passo 5
Em seguida, queremos eliminar o 1 que está na posição (3,2). Para isso, vamos subtrair a segunda linha da terceira linha:
Nova linha 3 = Linha 3 - Linha 2
Ficando:
Passo 6
Agora, vamos para a terceira coluna. Queremos ter um 1 na posição (3,3). Atualmente, temos -1, então vamos multiplicar a terceira linha por -1:
Nova linha 3 = -1 * Linha 3
Ficando assim:
Passo 7
Agora, vamos eliminar os números acima do 1 na terceira coluna. Para isso:
- Subtrair 2 vezes a terceira linha da primeira linha.
- Subtrair 1 vez a terceira linha da segunda linha.
Aplicando:
Nova linha 1 = Linha 1 - 2 * Linha 3
Nova linha 2 = Linha 2 - Linha 3
Ficando:
Passo 8
Pronto! A parte da esquerda agora é a matriz identidade. Então, a parte da direita é a matriz inversa. Portanto, a inversa da matriz dada é:
Resposta
A matriz inversa é: