2 Questão 2 (7 pts)
Determine a resposta ao impulso h(t) do sistema LIT com entrada e saída relacionadas pela equação abaixo:
y(t)=integral-infty^t e^(-t-tau) x(tau+1) d tau
(a) Esboce a função h(t);
(b) O sistema é causal? Tem memória? É BIBO estável?
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Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar a resposta ao impulso h(t) de um sistema Linear e Invariante no Tempo (LIT). Além disso, precisamos verificar se o sistema é causal, tem memória e se é BIBO estável. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é resposta ao impulso, manipular integrais e revisar alguns conceitos básicos de sistemas LIT.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a resposta ao impulso h(t) de um sistema LIT é a saída do sistema quando a entrada é uma função impulso de Dirac de<a(t) . A equação dada relaciona a saída y(t) com a entrada x(t) através de uma integral. Nosso objetivo é manipular essa expressão para isolar h(t) .

Passo 3

Vamos supor que a entrada x(t) seja uma função impulso de<a(t) . Substituindo na equação dada:
y(t) = integral-infty^t e^-(t+tau) de<a(tau + 1) , dtau
A propriedade da função impulso de<a(tau + 1) é que ela “pega” o valor da função onde o argumento da delta é zero, ou seja, tau = -1 .

Passo 4

Aplicando a propriedade da delta:
y(t) = e^-(t + (-1)) = e^-(t - 1) = e^1 - t
Então, a resposta ao impulso h(t) é:
h(t) = e^1 - t

Passo 5

Agora, vamos esboçar h(t) . Sabemos que e^1 - t é uma função exponencial decrescente. No gráfico:
  • Para t < 1 , h(t) ainda tem valores positivos.
  • Para t = 1 , o valor de h(t) é e^0 = 1 .
  • Para t > 1 , h(t) decresce exponencialmente rumo a zero.
Portanto, o esboço de h(t) começa em t = 1 e decresce a partir daí.

Passo 6

Vamos analisar se o sistema é causal. Um sistema é causal se a saída em qualquer instante t depende apenas de valores da entrada em t ou no passado ( tau <= t ). Observando a integral de -infty a t , vemos que a saída depende de valores passados da entrada, então o sistema é causal.

Passo 7

Sobre memória, um sistema tem memória se a saída em t depende de valores da entrada em outros instantes além de t . Como nossa integral envolve tau + 1 , que desloca o tempo da entrada, o sistema depende de valores passados da entrada. Portanto, o sistema tem memória.

Passo 8

Por fim, vamos verificar se o sistema é BIBO estável (Bounded Input, Bounded Output). Um sistema LIT é BIBO estável se a integral da resposta ao impulso em módulo for finita:
integral-infty^+infty |h(t)| , dt = integral1^+infty e^1 - t , dt = e integral1^+infty e^-t , dt = e cdot e^-t |1^+infty = e cdot (0 - e^-1) = 1
Como a integral é finita, o sistema é BIBO estável.

Resposta

(a) A resposta ao impulso h(t) = e^1 - t é uma função exponencial decrescente que inicia em t = 1 .
(b) O sistema é causal, tem memória e é BIBO estável.

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