Determine a resposta ao impulso do sistema LIT com entrada e saída relacionadas pela equação abaixo:
(a) Esboce a função ;
(b) O sistema é causal? Tem memória? É BIBO estável?
1
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar a resposta ao impulso de um sistema Linear e Invariante no Tempo (LIT). Além disso, precisamos verificar se o sistema é causal, tem memória e se é BIBO estável. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é resposta ao impulso, manipular integrais e revisar alguns conceitos básicos de sistemas LIT.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a resposta ao impulso de um sistema LIT é a saída do sistema quando a entrada é uma função impulso de Dirac . A equação dada relaciona a saída com a entrada através de uma integral. Nosso objetivo é manipular essa expressão para isolar .
Passo 3
Vamos supor que a entrada seja uma função impulso . Substituindo na equação dada:
A propriedade da função impulso é que ela “pega” o valor da função onde o argumento da delta é zero, ou seja, .
Passo 4
Aplicando a propriedade da delta:
Então, a resposta ao impulso é:
Passo 5
Agora, vamos esboçar . Sabemos que é uma função exponencial decrescente. No gráfico:
Para , ainda tem valores positivos.
Para , o valor de é .
Para , decresce exponencialmente rumo a zero.
Portanto, o esboço de começa em e decresce a partir daí.
Passo 6
Vamos analisar se o sistema é causal. Um sistema é causal se a saída em qualquer instante depende apenas de valores da entrada em ou no passado (). Observando a integral de a , vemos que a saída depende de valores passados da entrada, então o sistema é causal.
Passo 7
Sobre memória, um sistema tem memória se a saída em depende de valores da entrada em outros instantes além de . Como nossa integral envolve , que desloca o tempo da entrada, o sistema depende de valores passados da entrada. Portanto, o sistema tem memória.
Passo 8
Por fim, vamos verificar se o sistema é BIBO estável (Bounded Input, Bounded Output). Um sistema LIT é BIBO estável se a integral da resposta ao impulso em módulo for finita:
Como a integral é finita, o sistema é BIBO estável.
Resposta
(a) A resposta ao impulso h(t) = e^1 - t é uma função exponencial decrescente que inicia em t = 1 .
(b) O sistema é causal, tem memória e é BIBO estável.