Questão 2 (10 pontos). Seja A=(ccc1 & -2 & -2 -2 & 1 & -2 -6 & 6 & -3).
(a) Calcule os autovalores de A.

Passo 1

O enunciado pede os autovalores da matriz
A = 1 & -2 & -2 -2 & 1 & -2 -6 & 6 & -3
O conteúdo envolvido é o cálculo do polinômio característico det(A - lambda I)=0 e a fatoração do polinômio cúbico resultante para encontrar lambda.

Passo 2

Escrevemos A - lambda I e montamos o determinante:
A - lambda I = 1-lambda & -2 & -2 -2 & 1-lambda & -2 -6 & 6 & -3-lambda ,
det(A - lambda I) = 1-lambda & -2 & -2 -2 & 1-lambda & -2 -6 & 6 & -3-lambda ;=;0

Passo 3

Calculando o determinante por expansão na primeira linha, obtemos
det(A - lambda I) = (1-lambda)l[(1-lambda)(-3-lambda)-(-2)cdot6r] +2l[(-2)(-3-lambda)-(-2)(-6)r] -2l[(-2)cdot6-(1-lambda)(-6)r]
Simplificando cada termo chega-se ao polinômio
-lambda^3-lambda^2+9lambda+9=0,
ou equivalentemente
lambda^3+lambda^2-9lambda-9=0

Passo 4

Fatorando por agrupamento:
lambda^3+lambda^2-9lambda-9 = (lambda^2-9)(lambda+1) = (lambda-3)(lambda+3)(lambda+1)
Logo as raízes são
lambda=3,; lambda=-3,;lambda=-1.

Resposta

Os autovalores de A são
boxedlambda=3,;-3,;-1

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