Escreva as equações paramétricas da reta r dada pela interseção dos planos pi1 e pi2, em que
[
\pi_{1}:\left{ l x=1+lambda y=-2 z=-lambda-mu e \quad \pi_{2}:\left{ l x=1+lambda-mu y=2 lambda+mu z=3-mu \right.\right.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as equações paramétricas da reta r que é a interseção dos planos pi1 e pi2 dados em forma paramétrica. O conteúdo é interseção de planos em 3D, e para resolver vamos precisar igualar as coordenadas (x,y,z) dos dois planos, introduzir parâmetros independentes e eliminar as variáveis extras até sobrar só um parâmetro que descreva a reta.

Passo 2

Para evitar confusão de letras, renomeamos os parâmetros do segundo plano. Chamemos no primeiro plano de (lambda,mu) e no segundo de (u,v). Assim temos: do plano pi1
x=1+lambda, y=-2, z=-lambda-mu,
e do plano pi2
x=1+u-v, y=2u+v, z=3-v

Passo 3

Em seguida igualamos as coordenadas de pi1 e pi2, pois na interseção elas coincidem. Isso gera o sistema
1+lambda = 1+u-v,
-2 = 2u+v,
-lambda-mu = 3-v

Passo 4

Do segundo, isolamos v em função de u:
2u+v=-2 Longrightarrow v=-2-2u

Passo 5

Substituímos em lambda = u-v (da primeira equação):
lambda = u-(-2-2u)=3u+2

Passo 6

E na terceira equação encontramos mu:
-(3u+2)-mu = 3-(-2-2u) Longrightarrow -3u-2-mu =5+2u Longrightarrow mu=-7-5u

Passo 7

Agora escrevemos as coordenadas da reta em função de u. Usando x=1+lambda, y=-2 e z=-lambda-mu, obtemos
x=1+(3u+2)=3u+3, y=-2, z=-(3u+2)-(-7-5u)=2u+5

Passo 8

Por fim, renomeamos o parâmetro u para t (é só nome): temos as equações paramétricas da reta.

Resposta

As equações paramétricas de r são
x=3t+3, y=-2, z=2t+5

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