Determine o máximo divisor comum entre os polinômios:
X^3+2 X^2+3 X+2 e X^2+4 in Z5[X].
Sempre que possível, escreva o máximo divisor comum como combinação dos dois polinômios do par.

Passo 1

O exercício pede para determinar o máximo divisor comum (gcd) entre os polinômios f = X^3 + 2X^2 + 3X + 2 e g = X^2 + 4 em Z5[X]. Vamos usar o algoritmo de Euclides para polinômios e depois escrever o gcd como combinação linear de f e g.

Passo 2

Dividimos f por g. Primeiro, o termo líder de f é X^3 e de g é X^2, então o quociente parcial é X. Subtraindo, temos:

Passo 3

f - Xcdot g = (X^3 + 2X^2 + 3X + 2) - (X^3 + 4X) = 2X^2 + (3-4)X + 2 = 2X^2 + 4X + 2

Passo 4

Agora dividimos 2X^2 + 4X + 2 por g. O termo líder 2X^2 dividido por X^2 dá quociente 2. Subtraindo:
(2X^2 + 4X + 2) - 2cdot (X^2+4) = 2X^2 + 4X + 2 - (2X^2 + 8) = 4X + (2-8) = 4X + 4
Logo, o quociente completo é Q1 = X + 2 e o resto r1 = 4X + 4.

Passo 5

Em seguida, dividimos g = X^2 + 4 por r1 = 4X + 4. Procuramos Q2 de grau 1 tal que
(X^2 + 4) - Q2cdot(4X+4) = 0
Escolhendo Q2 = 4X + 1 vemos que
(4X+1)(4X+4) = 16X^2 + 16X + 4X + 4 = X^2 + 0X + 4 = X^2 + 4,
e o resto é zero. Isso mostra que r1 divide g.

Passo 6

Como o último resto não-nulo é r1 = 4X + 4, esse polinômio gera o gcd até unidade. Para normalizar como monic, multiplicamos por 4^-1=4 em Z5:
4,(4X+4) = 16X + 16 = X + 1
Então o gcd monic é X + 1.

Passo 7

Para escrever X+1 como combinação de f e g, usamos a expressão de r1:
r1 = f - (X+2),g
Multiplicando por 4 (para obter X+1):
X + 1 = 4,r1 = 4l(f - (X+2)gr) = 4f - 4(X+2)g
Em Z5, -4X) = X e -8)=2, logo
X+1 = 4f + (X+2)g

Resposta

O máximo divisor comum é X + 1. Além disso, em Z5[X] temos
X + 1 = 4,(X^3 + 2X^2 + 3X + 2) ;+ ;(X+2),(X^2 + 4)

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