Determine o máximo divisor comum entre os polinômios:
e
.
Sempre que possível, escreva o máximo divisor comum como combinação dos dois polinômios do par.
Sempre que possível, escreva o máximo divisor comum como combinação dos dois polinômios do par.
Passo 1
O exercício pede para determinar o máximo divisor comum (gcd) entre os polinômios
e
em
. Vamos usar o algoritmo de Euclides para polinômios e depois escrever o gcd como combinação linear de
e
.
Passo 2
Dividimos
por
. Primeiro, o termo líder de
é
e de
é
, então o quociente parcial é
. Subtraindo, temos:
Passo 3
Passo 4
Agora dividimos
por
. O termo líder
dividido por
dá quociente
. Subtraindo:
Logo, o quociente completo é
e o resto
.
Passo 5
Em seguida, dividimos
por
. Procuramos
de grau 1 tal que
Escolhendo
vemos que
e o resto é zero. Isso mostra que
divide
.
Passo 6
Como o último resto não-nulo é
, esse polinômio gera o gcd até unidade. Para normalizar como monic, multiplicamos por
em
:
Então o gcd monic é
.
Passo 7
Para escrever
como combinação de
e
, usamos a expressão de
:
Multiplicando por
(para obter
):
Em
,
e
, logo
Resposta
O máximo divisor comum é
. Além disso, em
temos