Quais dos subconjuntos abaixo de Q[X] são ideais de Q[X] ? Em caso afirmativo, determine o gerador mônico do ideal e diga se o ideal é ou não um ideal maximal.
I=f(X) in Q[X] ; f(2)=0 e f(0)=f(1)
J=f(X) in Q[X] ; f(2)=0 e f(0)=0
L=f(X) in Q[X] ; f(raiz3)=0

Passo 1

Estamos no anel I e temos três subconjuntos. Para decidir se cada um é ideal, vamos usar que em f,g todo ideal é principal (é um PID), e que um ideal $I$ é tal que: (i) se $f,g$ estão em $I$ então $f+g$ está em $I$, e (ii) se $f$ está em $I$ e $h$ é qualquer polinômio em $\mathbb{Q}[X]$, então $h f$ está em $I$. Vamos também usar o Teorema do Fator: se $f©=0$ então $X-c$ divide $f$, e mais geralmente se $c$ não está em $\mathbb{Q}$ usamos seu polinômio mínimo.

Passo 2

Para o conjunto f(2)=0 testamos fechamento: escolhemos um polinômio não-nulo em f(0)=f(1)=-2, por exemplo g(X)=X. De fato $f(2)=0$ e $f(0)=f(1)=-2$. Agora pegamos $g(X)=X$ (que não satisfaz $g(0)=g(1)$). Então
f g(2)=f(2)g(2)=0\quad\text{ok},
porém
(f g)(0)=f(0)g(0)=-2\cdot 0=0,
(f g)(1)=f(1)g(1)=-2\cdot 1=-2,
logo $f g$ não satisfaz $ (f g)(0)=(f g)(1)$. Portanto $I$ não é ideal.

Passo 3

Para f(0)=0 vemos que se $f(0)=0$ então $X$ divide $f$, e se $f(2)=0$ então $X-2$ divide $f$. Como $X$ e $X-2$ são coprimos em X, seu produto $X(X-2)$ também divide $f$. Logo
$$ J=(X(X-2)). $$
O gerador monico é
$$ X^2-2X. $$
Para ver que é ideal basta notar que a definição de divisibilidade garante fechamento por soma e multiplicação por qualquer polinômio. Esse polinômio $X(X-2)$ é redutível (produto de dois fatores lineares), então $(X(X-2))$ não é maximal.

Passo 4

Para raiz3 usamos que o polinômio mínimo de $\sqrt3$ sobre $\mathbb{Q}$ é $X^2-3$. Então $X^2-3$ divide todo $f$ em $L$ e
$$ L=(X^2-3). $$
O gerador monico é
$$ X^2-3. $$
Como $X^2-3$ é irreduzível em Q (3 não é quadrado em $\mathbb{Q}$), o ideal gerado por ele é maximal.

Resposta

I não é ideal. J é ideal com gerador monico X^2-2X e não é maximal. L é ideal com gerador monico X^2-3 e é maximal.

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