Quais dos subconjuntos abaixo de
são ideais de
? Em caso afirmativo, determine o gerador mônico do ideal e diga se o ideal é ou não um ideal maximal.
e
e
Passo 1
Estamos no anel
e temos três subconjuntos. Para decidir se cada um é ideal, vamos usar que em
todo ideal é principal (é um PID), e que um ideal $I$ é tal que: (i) se $f,g$ estão em $I$ então $f+g$ está em $I$, e (ii) se $f$ está em $I$ e $h$ é qualquer polinômio em $\mathbb{Q}[X]$, então $h f$ está em $I$. Vamos também usar o Teorema do Fator: se $f©=0$ então $X-c$ divide $f$, e mais geralmente se $c$ não está em $\mathbb{Q}$ usamos seu polinômio mínimo.
Passo 2
Para o conjunto
testamos fechamento: escolhemos um polinômio não-nulo em
, por exemplo
. De fato $f(2)=0$ e $f(0)=f(1)=-2$. Agora pegamos $g(X)=X$ (que não satisfaz $g(0)=g(1)$). Então
f g(2)=f(2)g(2)=0\quad\text{ok},
porém
(f g)(0)=f(0)g(0)=-2\cdot 0=0,
(f g)(1)=f(1)g(1)=-2\cdot 1=-2,
logo $f g$ não satisfaz $ (f g)(0)=(f g)(1)$. Portanto $I$ não é ideal.
f g(2)=f(2)g(2)=0\quad\text{ok},
porém
(f g)(0)=f(0)g(0)=-2\cdot 0=0,
(f g)(1)=f(1)g(1)=-2\cdot 1=-2,
logo $f g$ não satisfaz $ (f g)(0)=(f g)(1)$. Portanto $I$ não é ideal.
Passo 3
Para
vemos que se $f(0)=0$ então $X$ divide $f$, e se $f(2)=0$ então $X-2$ divide $f$. Como $X$ e $X-2$ são coprimos em
, seu produto $X(X-2)$ também divide $f$. Logo
$$ J=(X(X-2)). $$
O gerador monico é
$$ X^2-2X. $$
O gerador monico é
$$ X^2-2X. $$
Para ver que é ideal basta notar que a definição de divisibilidade garante fechamento por soma e multiplicação por qualquer polinômio. Esse polinômio $X(X-2)$ é redutível (produto de dois fatores lineares), então $(X(X-2))$ não é maximal.
Passo 4
Para
usamos que o polinômio mínimo de $\sqrt3$ sobre $\mathbb{Q}$ é $X^2-3$. Então $X^2-3$ divide todo $f$ em $L$ e
$$ L=(X^2-3). $$
O gerador monico é
$$ X^2-3. $$
O gerador monico é
$$ X^2-3. $$
Como $X^2-3$ é irreduzível em
(3 não é quadrado em $\mathbb{Q}$), o ideal gerado por ele é maximal.
Resposta
I não é ideal. J é ideal com gerador monico X^2-2X e não é maximal. L é ideal com gerador monico X^2-3 e é maximal.