Sejam e pontos distintos entre si pertencentes a um plano . Mostre que se , então A, B, C e D pertencem a uma mesma circunferência contida em alpha cujo centro é a projeção ortogonal de O em alpha.
Passo 1
Temos quatro pontos distintos A, B, C e D no plano α e um ponto O fora de α, tais que OA = OB = OC = OD. O conteúdo aqui é geometria plana envolvendo projeção ortogonal e circunferência. Vamos precisar usar o conceito de projeção de um ponto sobre um plano e o Teorema de Pitágoras em triângulos retângulos.
Passo 2
Seja H a projeção ortogonal de O sobre o plano α. Por definição, H ∈ α e OH perp α. Isto significa que, para qualquer ponto X em α, o segmento OH é perpendicular ao plano, logo o triângulo OXH é retângulo em H.
No triângulo retângulo OXH, aplicamos o Teorema de Pitágoras:
OX^2 = OH^2 + HX^2
Como para X = A, B, C, D temos OX = OA = k (constante), segue HX^2 = OX^2 - OH^2 = k^2 - OH^2
que independe de X. Logo, HA = HB = HC = HD = raizk^2 - OH^2.
Passo 3
Como A, B, C e D estão todos à mesma distância de H e pertencem ao plano α, eles definem uma mesma circunferência em α de centro H e raio r = raizk^2 - OH^2.
Resposta
Os pontos A, B, C e D pertencem à circunferência contida em α de centro na projeção ortogonal H de O sobre α e raio raizOA^2 - OH^2.