Sejam
um corpo e
. Mostre que se
é um máximo divisor comum de
e
então
também é um máximo divisor comum de
e
.
Passo 1
O enunciado diz que estamos em
, o anel de polinômios sobre um corpo
, e que
é um máximo divisor comum (gcd) de
e
. Queremos mostrar que, para qualquer
,
, o polinômio
também é um gcd de
e
.
Passo 2
Lembrando a definição de gcd em
:
(1) divide
e
;
(2) se é qualquer outro polinômio que divide
e
, então
também divide
.
(1)
(2) se
Passo 3
Como
divide
, existe
tal que
Como
Isso mostra que
divide
. De modo idêntico,
divide
.
Passo 4
Agora peguemos qualquer
que seja divisor comum de
e
. Pelo fato de
ser gcd,
divide
, isto é, existe
com
Multiplicando ambos os lados por
, obtemos
ou seja,
divide
.
Passo 5
Concluímos que
satisfaz os dois requisitos de um gcd: é um divisor comum de
e
e todo outro divisor comum divide
. Portanto,
é também um máximo divisor comum de
e
.
Resposta
Para todo
,
é um máximo divisor comum de
e
.