Sejam K um corpo e f(X), g(X) in K[X]. Mostre que se d(X) é um máximo divisor comum de f(X) e g(X) então a d(X) também é um máximo divisor comum de f(X) e g(X), forall a in K, a neq 0.

Passo 1

O enunciado diz que estamos em K[X], o anel de polinômios sobre um corpo K, e que d(X) é um máximo divisor comum (gcd) de f(X) e g(X). Queremos mostrar que, para qualquer ain K, aneq0, o polinômio a,d(X) também é um gcd de f(X) e g(X).

Passo 2

Lembrando a definição de gcd em K[X]:
(1) d(X) divide f(X) e g(X);
(2) se h(X) é qualquer outro polinômio que divide f(X) e g(X), então h(X) também divide d(X).

Passo 3

Como d(X) divide f(X), existe q(X)in K[X] tal que
f(X)=d(X),q(X)
Como ain K^* é invertível em K[X], temos a^-1(X)=a^-1 também em K[X]. Logo podemos reescrever:
f(X)=l(a,d(X)r)cdotl(a^-1q(X)r)
Isso mostra que a,d(X) divide f(X). De modo idêntico, a,d(X) divide g(X).

Passo 4

Agora peguemos qualquer h(X) que seja divisor comum de f(X) e g(X). Pelo fato de d(X) ser gcd, h(X) divide d(X), isto é, existe s(X) com
d(X)=h(X),s(X)
Multiplicando ambos os lados por a, obtemos
a,d(X)=h(X)cdotl(a,s(X)r),
ou seja, h(X) divide a,d(X).

Passo 5

Concluímos que a,d(X) satisfaz os dois requisitos de um gcd: é um divisor comum de f(X) e g(X) e todo outro divisor comum divide a,d(X). Portanto, a,d(X) é também um máximo divisor comum de f(X) e g(X).

Resposta

Para todo ain K^*, a,d(X) é um máximo divisor comum de f(X) e g(X).

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