Determine o máximo divisor comum entre os polinômios:
e
.
Sempre que possível, escreva o máximo divisor comum como combinação dos dois polinômios do par.
Sempre que possível, escreva o máximo divisor comum como combinação dos dois polinômios do par.
Passo 1
O enunciado pede para achar o máximo divisor comum (m.d.c.) em ℂ[X] dos polinômios P(X) = (X–i)5·(X3–2X+1) e Q(X) = X^4–1. Vamos usar fatoração em raízes simples e a definição de m.d.c. em ℂ[X].
Passo 2
Primeiro, fatoramos Q(X):
As raízes são 1, –1, i e –i, todas de multiplicidade 1.
Passo 3
Agora fatoramos o outro polinômio P(X). Note que
pois 1 é raíz simples; as outras raízes são
. Assim
As raízes de P, com suas multiplicidades, são: i (multiplicidade 5) e 1 (multiplicidade 1), mais duas outras raízes que não aparecem em Q.
Passo 4
O m.d.c. em ℂ[X] pega cada raiz comum com a menor multiplicidade. As raízes comuns de P e Q são X=i (min{5,1}=1) e X=1 (min{1,1}=1). Nenhuma outra raiz coincide. Logo
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\boxed{\gcd(P,Q)=(X-1),(X-i).}
\boxed{\gcd(P,Q)=(X-1),(X-i).}