Determine o máximo divisor comum entre os polinômios:
X^4-1 in C[X] e .
Sempre que possível, escreva o máximo divisor comum como combinação dos dois polinômios do par.

Passo 1

O enunciado pede para achar o máximo divisor comum (m.d.c.) em ℂ[X] dos polinômios P(X) = (X–i)5·(X3–2X+1) e Q(X) = X^4–1. Vamos usar fatoração em raízes simples e a definição de m.d.c. em ℂ[X].

Passo 2

Primeiro, fatoramos Q(X):
X^4-1=(X^2-1)(X^2+1)=(X-1)(X+1)(X-i)(X+i)
As raízes são 1, –1, i e –i, todas de multiplicidade 1.

Passo 3

Agora fatoramos o outro polinômio P(X). Note que
X^3-2X+1=(X-1)(X^2+X-1),
pois 1 é raíz simples; as outras raízes são -1pmraiz52. Assim
P(X)=(X-i)^5,(X-1),(X^2+X-1)
As raízes de P, com suas multiplicidades, são: i (multiplicidade 5) e 1 (multiplicidade 1), mais duas outras raízes que não aparecem em Q.

Passo 4

O m.d.c. em ℂ[X] pega cada raiz comum com a menor multiplicidade. As raízes comuns de P e Q são X=i (min{5,1}=1) e X=1 (min{1,1}=1). Nenhuma outra raiz coincide. Logo
[
\boxed{\gcd(P,Q)=(X-1),(X-i).}

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