Determine o máximo divisor comum entre os polinômios:
X^2-1 e X^3+X^2+X+1 in Q[X].
Sempre que possível, escreva o máximo divisor comum como combinação dos dois polinômios do par.

Passo 1

Temos que achar o máximo divisor comum (mdc) entre os polinômios X^2-1 e X^3+X^2+X+1 em Q[X]. Para isso, vamos usar o algoritmo de Euclides em Q[X], que envolve divisões sucessivas e, em seguida, retro
substituição para expressar o mdc como combinação linear.

Passo 2

Dividimos X^3+X^2+X+1 por X^2-1:
X^3+X^2+X+1 = Xcdot(X^2-1) + (X^2+2X+1)

Passo 3

Dividimos X^2-1 por X^2+2X+1:
X^2-1 = 1cdot(X^2+2X+1) + (-2X-2)

Passo 4

Observamos que -2X-2=-2(X+1). Em seguida dividimos X^2+2X+1 por -2X-2 e o resto é zero, então o último resto não nulo é -2(X+1). Como em Q[X] -2 é invertível, o mdc monico é X+1.

Passo 5

Agora fazemos a retro
substituição para escrever -2(X+1) em termos dos dois polinômios iniciais:
-2(X+1) = (X+1)cdot(X^2-1) - 1cdot(X^3+X^2+X+1)

Passo 6

Dividindo ambos os lados por -2, obtemos o mdc monico como combinação linear:
X+1 = l(-tfrac12X -tfrac12r)(X^2-1) + tfrac12,(X^3+X^2+X+1)

Resposta

O máximo divisor comum monico é X+1, e uma combinação linear possível é
X+1 = l(-tfrac12X -tfrac12r)(X^2-1) + tfrac12,(X^3+X^2+X+1)

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