Sejam
tais que
onde
é um corpo. Seja
. Mostre que
.
Passo 1
O enunciado nos dá polinômios f(X), g(X), q(X), r(X) em K[X] com f(X)=q(X)·g(X)+r(X), e pede para mostrar que mdc(f,g)=mdc(g,r). O conteúdo aqui é o algoritmo euclidiano para polinômios, e vamos usar as propriedades de divisibilidade em K[X].
Passo 2
Em K[X], se um polinômio d(X) divide dois outros p(X) e t(X), então d(X) também divide qualquer combinação linear α(X)p(X)+β(X)t(X) (com α,β em K[X]). Vamos aplicar isso a d(X) que divide f(X) e g(X): r(X)=f(X)−q(X)·g(X) é exatamente uma combinação linear de f e g, logo qualquer divisor comum de f e g também divide r.
Passo 3
Isso mostra que todo divisor comum de f(X) e g(X) é também divisor comum de g(X) e r(X). Logo o maior divisor comum de f e g (isto é, mdc(f,g)) é um candidato a divisor comum de g e r. Em símbolos, se d(X)=mdc(f,g) então d(X) divide g e d(X) divide r, logo d(X) é divisor comum de g e r.
Passo 4
Reciprocamente, tome um divisor comum e(X) de g(X) e r(X). Como f(X)=q(X)·g(X)+r(X), e(X) divide g e r, segue que e(X) também divide f. Assim qualquer divisor comum de g e r é divisor comum de f e g, então mdc(g,r) divide f e g e é, portanto, um candidato a divisor maior comum de f e g.
Passo 5
Como os conjuntos de divisores comuns de (f,g) e de (g,r) coincidem, seus máximos divisores comuns são iguais até unidade. Se escolhermos a convenção de mdc monico, temos mdc(f,g)=mdc(g,r).
Resposta
d(X)=mdc(f(X),g(X))=mdc(g(X),r(X))