Uma figura é formada por quatro pontos e e pelos segmentos e . Se os ângulos e são retos, ela é uma figura plana?
Passo 1
O enunciado pede pra gente analisar um quadrilátero formado pelos segmentos AB, BC, CD e DA, em que cada ângulo interno é reto (90°). O conteúdo envolve quadriláteros no espaço e o que significa ser uma figura plana (coplanaridade dos quatro pontos).
Passo 2
Em um quadrilátero plano, sabemos que os quatro pontos A, B, C e D devem estar em um mesmo plano. Embora a soma dos ângulos internos de qualquer quadrilátero plano seja 360°, no espaço os ângulos são medidos localmente e essa soma ser 360° não garante coplanaridade.
Para ver que não é suficiente, vamos construir um contraexemplo no espaço. Escolhemos:
Passo 3
Definimos os pontos:
Passo 4
Calculamos os vetores nos vértices e mostramos que cada par de arestas forma 90°. Por exemplo, no vértice B:
seu produto escalar é (-1,0,0)cdot(0,1,1)=0,
logo o ângulo widehatB=90^circ. Fazendo o mesmo em A, C e D, vemos todos ângulos retos.
Passo 5
Para mostrar que A, B, C e D não estão coplanares, calculamos o produto misto:
(ABtimesAD)cdotAC
onde AB=(1,0,0), AD=(0,1,1), AC=(1,1,1)
O produto misto dá diferente de zero, indicando que os vetores não estão no mesmo plano, ou seja, os pontos não são coplanares.
Passo 6
Como encontramos um quadrilátero no espaço com todos os ângulos internos retos, mas sem ser plano, concluímos que a condição “quatro ângulos retos” não garante coplanaridade.
Resposta
Não necessariamente. Existe quadrilátero no espaço com os quatro ângulos retos e que não é plano, conforme o contraexemplo dado.