Uma figura é formada por quatro pontos A, B, C e D e pelos segmentos A B, B C, C D e D A. Se os ângulos widehatA, widehatB, widehatC e widehatD são retos, ela é uma figura plana?

Passo 1

O enunciado pede pra gente analisar um quadrilátero formado pelos segmentos AB, BC, CD e DA, em que cada ângulo interno é reto (90°). O conteúdo envolve quadriláteros no espaço e o que significa ser uma figura plana (coplanaridade dos quatro pontos).

Passo 2

Em um quadrilátero plano, sabemos que os quatro pontos A, B, C e D devem estar em um mesmo plano. Embora a soma dos ângulos internos de qualquer quadrilátero plano seja 360°, no espaço os ângulos são medidos localmente e essa soma ser 360° não garante coplanaridade.
Para ver que não é suficiente, vamos construir um contraexemplo no espaço. Escolhemos:

Passo 3

Definimos os pontos:
A=(0,0,0), B=(1,0,0), C=(1,1,1), D=(0,1,1)

Passo 4

Calculamos os vetores nos vértices e mostramos que cada par de arestas forma 90°. Por exemplo, no vértice B:
BA=A-B=(-1,0,0), BC=C-B=(0,1,1),
seu produto escalar é
(-1,0,0)cdot(0,1,1)=0,
logo o ângulo widehatB=90^circ. Fazendo o mesmo em A, C e D, vemos todos ângulos retos.

Passo 5

Para mostrar que A, B, C e D não estão coplanares, calculamos o produto misto:
(ABtimesAD)cdotAC
onde
AB=(1,0,0), AD=(0,1,1), AC=(1,1,1)
O produto misto dá diferente de zero, indicando que os vetores não estão no mesmo plano, ou seja, os pontos não são coplanares.

Passo 6

Como encontramos um quadrilátero no espaço com todos os ângulos internos retos, mas sem ser plano, concluímos que a condição “quatro ângulos retos” não garante coplanaridade.

Resposta

Não necessariamente. Existe quadrilátero no espaço com os quatro ângulos retos e que não é plano, conforme o contraexemplo dado.

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