Seja
uma reta secante a um plano
num ponto P , não perpendicular a
. Mostre que o ângulo que
faz com
é o menor ângulo dentre todos os ângulos que as retas contidas em
passando por
fazem com
.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma reta r que corta um plano α num ponto P e não é perpendicular a ele. A tarefa é mostrar que o ângulo que r faz com α (definido pela projeção de r no plano) é o menor entre todos os ângulos que r poderia fazer com qualquer reta contida em α passando por P. Vamos usar geometria vetorial para resolver isso.
Passo 2
Seja v um vetor unitário que indica a direção de r e seja n um vetor unitário normal ao plano α. Como r não é perpendicular a α, temos ⟨v,n⟩≠±1. Podemos decompor v em parte paralela ao plano e parte perpendicular a ele:
onde
é a componente perpendicular e
é a componente paralela ao plano (logo, v_{∥} está em α).
Passo 3
Agora, considere qualquer reta s em α passando por P, com vetor unitário u de direção. O cosseno do ângulo θ entre r e s é dado por
Mas como u está em α, ele é ortogonal a n, então
Pela desigualdade de Cauchy–Schwarz, esse produto escalar atinge valor máximo justamente quando u está colinear com v_{∥}. Logo o ângulo θ é mínimo quando s tem direção v_{∥}.
Passo 4
Por definição, a reta de direção v_{∥} é exatamente a projeção de r em α, e o ângulo entre r e essa reta-projeção é o que chamamos de ângulo entre r e o plano α. Concluímos então que esse ângulo é o menor possível dentre todos os ângulos entre r e retas em α passando por P.
Resposta
O ângulo entre r e α, definido pela projeção de r em α, é mínimo porque qualquer outra reta em α faz um ângulo maior ou igual ao formado com a projeção (que é obtida alinhando-se à componente de r paralela ao plano).