Seja r uma reta secante a um plano alpha num ponto P , não perpendicular a alpha. Mostre que o ângulo que r faz com alpha é o menor ângulo dentre todos os ângulos que as retas contidas em alpha passando por P fazem com r.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma reta r que corta um plano α num ponto P e não é perpendicular a ele. A tarefa é mostrar que o ângulo que r faz com α (definido pela projeção de r no plano) é o menor entre todos os ângulos que r poderia fazer com qualquer reta contida em α passando por P. Vamos usar geometria vetorial para resolver isso.

Passo 2

Seja v um vetor unitário que indica a direção de r e seja n um vetor unitário normal ao plano α. Como r não é perpendicular a α, temos ⟨v,n⟩≠±1. Podemos decompor v em parte paralela ao plano e parte perpendicular a ele:
v = v∥ + v⊥,
onde
v⊥ = lang<= v,nrang<=,n
é a componente perpendicular e
v∥ = v - lang<= v,nrang<=,n
é a componente paralela ao plano (logo, v_{∥} está em α).

Passo 3

Agora, considere qualquer reta s em α passando por P, com vetor unitário u de direção. O cosseno do ângulo θ entre r e s é dado por
cos θ = lang<= v,urang<=
Mas como u está em α, ele é ortogonal a n, então
lang<= v,urang<= = lang<= v∥,urang<=
Pela desigualdade de Cauchy–Schwarz, esse produto escalar atinge valor máximo justamente quando u está colinear com v_{∥}. Logo o ângulo θ é mínimo quando s tem direção v_{∥}.

Passo 4

Por definição, a reta de direção v_{∥} é exatamente a projeção de r em α, e o ângulo entre r e essa reta-projeção é o que chamamos de ângulo entre r e o plano α. Concluímos então que esse ângulo é o menor possível dentre todos os ângulos entre r e retas em α passando por P.

Resposta

O ângulo entre r e α, definido pela projeção de r em α, é mínimo porque qualquer outra reta em α faz um ângulo maior ou igual ao formado com a projeção (que é obtida alinhando-se à componente de r paralela ao plano).

Exercícios relacionados