Determine o máximo da função abaixo sujeito a restição dada
\begin{aligned} f(x, y) & =4-x^{2}-y^{2} \\ \text { s. } a: \quad x+y & =2 \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o máximo de
f(x,y) = 4 - x^{2} - y^{2}
sujeito à restrição
x + y = 2.
Este é um problema de otimização com restrição de igualdade; vamos usar multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

Definimos a função de Lagrange
\mathcal{L}(x,y,\lambda) = 4 - x^{2} - y^{2} + \lambda\,(x + y - 2).
Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = -2x + \lambda = 0,
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} = -2y + \lambda = 0,
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = x + y - 2 = 0.
Das duas primeiras temos \lambda = 2x e \lambda = 2y, logo x = y. Substituindo em x+y=2 2x=2, ou seja
x = 1,\quad y = 1.

Passo 3

Para verificar que esse ponto é máximo, note que o Hessiano de f é
H = \begin{pmatrix}-2 & 0\\[6pt]0 & -2\end{pmatrix},
que é definido negativo. Portanto f é estritamente côncava e o ponto crítico (1,1) é de fato um máximo. Calculamos o valor:
f(1,1) = 4 - 1 - 1 = 2.]

Resposta

O valor máximo de f sob a restrição x+y=2 é 2, atingido no ponto (x,y)=(1,1).

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