Suponha X e Y tenham uma distribuição conjunta para a qual a função de densidade de probabilidade é definida como:
f(x, y)= \begin{cases}c y^{2} & , \text { para } 0 \leq x \leq 2 \text { e } 0 \leq y \leq 1 \\\\ 0 & , \text { caso contrário }\end{cases}á
\mathrm{P}\left\{Y<1 / 2\right\}.

Passo 1

O enunciado dá a densidade conjunta
f(x,y)= \begin{cases} c\,y^{2},&0\le x\le2,\;0\le y\le1,\\\\ 0,&\text{caso contrário}, \end{cases}á
e pede \mathrm{P}\{Y<\tfrac12\}.
Para resolver isso, primeiro determinamos a constante de normalização c usando
\iint_{\mathbb{R}^2}f(x,y)\,dx\,dy=1,
e depois calculamos a probabilidade desejada por meio de uma integral dupla sobre a região 0\le x\le2, 0\le y<\tfrac12.

Passo 2

Usamos a condição de normalização:
\int_{0}^{2}\int_{0}^{1}c\,y^{2}\,dy\,dx = c\int_{0}^{2}\Bigl[\tfrac{y^{3}}{3}\Bigr]_{0}^{1}\,dx = c\int_{0}^{2}\tfrac{1}{3}\,dx = \tfrac{2c}{3} \stackrel{!}{=}1.
Logo,
c=\tfrac{3}{2}.

Passo 3

Agora calculamos
\mathrm{P}\{Y<\tfrac12\} =\int_{0}^{2}\int_{0}^{\tfrac12}c\,y^{2}\,dy\,dx =\frac{3}{2}\!\int_{0}^{2}\!\Bigl[\frac{y^{3}}{3}\Bigr]_{0}^{1/2}\,dx =\frac{3}{2}\!\int_{0}^{2}\frac{1}{24}\,dx =\frac{3}{2}\cdot\frac{2}{24} =\frac{3}{24} =\frac{1}{8}.

Resposta

\displaystyle \mathrm{P}\{Y<\tfrac12\}=\tfrac{1}{8}.

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