Suponha X e Y tenham uma distribuição conjunta para a qual a função de densidade de probabilidade é definida como:
f(x, y)= \begin{cases}c y^{2} & , \text { para } 0 \leq x \leq 2 \text { e } 0 \leq y \leq 1 \\\\ 0 & , \text { caso contrário }\end{cases}á
\mathrm{P}\left\{X+Y>2\right\}.

Passo 1

O enunciado dá a densidade conjunta de (X,Y)\) \[f(x,y)= \begin{cases} c\,y^{2},&0\le x\le2,\;0\le y\le1,\\\\ 0,&\text{caso contrário}, \end{cases}
e pede \mathrm{P}\{X+Y>2\}\]. O conteúdo aqui é normalizar a densidade para achar \(c e, em seguida, calcular uma probabilidade como integral dupla sobre a região \{(x,y):x+ y>2\}.

Passo 2

Determinar c pela condição de normalização
\iint_{\mathbb{R}^2}f(x,y)\,dx\,dy =\int_{x=0}^{2}\int_{y=0}^{1}c\,y^{2}\,dy\,dx=1.
Calcule primeiro a integral em y:
\int_{0}^{1}y^{2}\,dy=\frac{1}{3},
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\int_{0}^{2}\int_{0}^{1}c\,y^{2}\,dy\,dx =\int_{0}^{2}c\cdot\frac{1}{3}\,dx =\frac{c}{3}\cdot2 =\frac{2c}{3}=1.
Daí
c=\frac{3}{2}.

Passo 3

Descrever a região \{(x,y):0\le x\le2,\;0\le y\le1,\;x+y>2\}.
Para um x fixo, a condição x+y>2 vira y>2-x. Como y\le1, precisamos de 2-x\le1 e 2-x\ge0, ou seja 1\le x\le2.
Portanto
x\in[1,2],\quad y\in[2-x,\,1].

Passo 4

Montar a integral da probabilidade usando c=\tfrac32:
\mathrm{P}\{X+Y>2\} =\int_{x=1}^{2}\int_{y=2-x}^{1}\frac{3}{2}\,y^{2}\,dy\,dx.
Calcule a integral interna em y:
\int_{2-x}^{1}y^{2}\,dy =\Bigl[\frac{y^{3}}{3}\Bigr]_{y=2-x}^{1} =\frac{1}{3}-\frac{(2-x)^{3}}{3} =\frac{1-(2-x)^{3}}{3}.
Multiplicando por \tfrac{3}{2} obtemos
\int_{2-x}^{1}\frac{3}{2}y^{2}\,dy =\frac{1}{2}-\frac{(2-x)^{3}}{2}.
Agora integramos em x:
\mathrm{P}\{X+Y>2\} =\int_{1}^{2}\Bigl(\frac12-\frac{(2-x)^{3}}{2}\Bigr)\,dx =\frac12\int_{1}^{2}dx-\frac12\int_{1}^{2}(2-x)^{3}\,dx.
A primeira parte é
\frac12\int_{1}^{2}dx=\frac12\cdot(2-1)=\frac12.
Para a segunda parte, mude de variável t=2-x, então quando x=1 vem t=1 e quando x=2 vem t=0, com dx=-dt:
\int_{1}^{2}(2-x)^{3}\,dx =\int_{t=1}^{0}t^{3}(-dt) =\int_{0}^{1}t^{3}\,dt =\frac{1}{4}.
Logo
\frac12\int_{1}^{2}(2-x)^{3}\,dx =\frac12\cdot\frac{1}{4} =\frac{1}{8}.
Subtraindo das duas partes obtemos
\mathrm{P}\{X+Y>2\} =\frac12-\frac{1}{8} =\frac{4}{8}-\frac{1}{8} =\frac{3}{8}.

Resposta

\displaystyle \mathrm{P}\{X+Y>2\}=\frac{3}{8}.

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