Suponha X e Y tenham uma distribuição conjunta para a qual a função de densidade de probabilidade é definida como:
f(x, y)= \begin{cases}c y^{2} & , \text { para } 0 \leq x \leq 2 \text { e } 0 \leq y \leq 1 \\\\ 0 & , \text { caso contrário }\end{cases}
\mathrm{P}\left\{X+Y>2\right\}.
Passo 1
O enunciado dá a densidade conjunta de (X,Y)\)
\[f(x,y)= \begin{cases} c\,y^{2},&0\le x\le2,\;0\le y\le1,\\\\ 0,&\text{caso contrário}, \end{cases}
e pede \mathrm{P}\{X+Y>2\}\].
O conteúdo aqui é normalizar a densidade para achar \(c e, em seguida, calcular uma probabilidade como integral dupla sobre a região \{(x,y):x+ y>2\}.
Descrever a região \{(x,y):0\le x\le2,\;0\le y\le1,\;x+y>2\}.
Para um x fixo, a condição x+y>2 vira y>2-x. Como y\le1, precisamos de 2-x\le1 e 2-x\ge0, ou seja 1\le x\le2.
Portanto
x\in[1,2],\quad y\in[2-x,\,1].
Passo 4
Montar a integral da probabilidade usando c=\tfrac32: