Encontre os pontos críticos e determine a natureza dos extremantes locais.
f(x, y)=(x-3) \ln (x y);

Passo 1

O enunciado pede os pontos críticos de
f(x,y) = (x-3)\,\ln(xy)
no domínio xy>0, e em seguida classificar cada um usando o teste da segunda derivada (determinante da Hessiana).

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais. Seja u=xy. Então
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl((x-3)\ln u\bigr) = \ln(xy) + (x-3)\frac{1}{u}\,y = \ln(xy) + \frac{x-3}{x},
\frac{\partial f}{\partial y} = (x-3)\,\frac{1}{u}\,x = \frac{x-3}{y}.

Passo 3

Para pontos críticos igualamos as duas derivadas a zero:
\frac{\partial f}{\partial y}=0 \implies \frac{x-3}{y}=0 \implies x=3.
Substituindo em \partial f/\partial x=0,
\ln(3y)+\frac{3-3}{3}=0 \implies \ln(3y)=0 \implies 3y=1 \implies y=\tfrac13.
Logo o único ponto crítico é (3,\tfrac13), que de fato satisfaz xy=1>0.

Passo 4

Agora as segundas derivadas necessárias para a Hessiana:
f_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\ln(xy)+\frac{x-3}{x}\Bigr) = \frac{1}{x} + \frac{3}{x^2},
f_{yy} = \frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{x-3}{y}\Bigr) = -\,\frac{x-3}{y^2},
f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\ln(xy)+\frac{x-3}{x}\Bigr) = \frac{1}{y}.
O determinante da Hessiana é
D = f_{xx}\,f_{yy} - \bigl(f_{xy}\bigr)^2.

Passo 5

Em \bigl(x,y\bigr)=(3,\tfrac13) temos
f_{xx}=\frac{1}{3}+\frac{3}{9}=\frac{2}{3},\quad f_{yy}=0,\quad f_{xy}=3,
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D = \frac{2}{3}\cdot 0 - 3^2 = -9 <0.
Como D<0, o ponto (3,\tfrac13) é um ponto de sela.

Resposta

O único ponto crítico é \bigl(3,\tfrac13\bigr) e nele a função apresenta um ponto de sela.

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