Encontre os pontos críticos e determine a natureza dos extremantes locais.
;
Passo 1
O enunciado pede os pontos críticos de
no domínio
, e em seguida classificar cada um usando o teste da segunda derivada (determinante da Hessiana).
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais. Seja
. Então
Passo 3
Para pontos críticos igualamos as duas derivadas a zero:
Substituindo em
,
Logo o único ponto crítico é
, que de fato satisfaz
.
Passo 4
Agora as segundas derivadas necessárias para a Hessiana:
O determinante da Hessiana é
Passo 5
Em
temos
logo
Como
, o ponto
é um ponto de sela.
Resposta
O único ponto crítico é
e nele a função apresenta um ponto de sela.