Um homem deseja construir um galinheiro com formato retangular, usando como um dos lados uma parede de sua casa. Quais as dimensões que devem ser utilizadas para que a área seja máxima, sabendo-se que ele pretende usar 20 m de cerca?
R_5 m por 10 m
R_5 m por 10 m
Passo 1
O enunciado pede para maximizar a área de um retângulo usando uma parede como um dos lados e 20 m de cerca para os outros três lados. O conteúdo é otimização de funções (cálculo) e vamos precisar montar a função área em função de uma variável e usar derivada para achar o máximo.
Passo 2
Chamando de x o comprimento dos lados perpendiculares à parede e de y o lado paralelo à parede, a cerca constrói dois lados x e um lado y, logo temos a restrição
.
Passo 3
Isolando
em função de
:
. A área é dada por
, então definimos
Passo 4
Para achar o máximo, calculamos a derivada de
e igualamos a zero:
Como é um polinômio quadrático com coeficiente negativo em
, esse ponto é um máximo.
Passo 5
Substituindo
na expressão de
:
Assim, a área máxima ocorre para as dimensões 5 m e 10 m.
Resposta
5 m por 10 m