Um homem deseja construir um galinheiro com formato retangular, usando como um dos lados uma parede de sua casa. Quais as dimensões que devem ser utilizadas para que a área seja máxima, sabendo-se que ele pretende usar 20 m de cerca?
R_5 m por 10 m

Passo 1

O enunciado pede para maximizar a área de um retângulo usando uma parede como um dos lados e 20 m de cerca para os outros três lados. O conteúdo é otimização de funções (cálculo) e vamos precisar montar a função área em função de uma variável e usar derivada para achar o máximo.

Passo 2

Chamando de x o comprimento dos lados perpendiculares à parede e de y o lado paralelo à parede, a cerca constrói dois lados x e um lado y, logo temos a restrição 2x + y = 20.

Passo 3

Isolando y em função de x: y = 20 - 2x. A área é dada por A = x cdot y, então definimos A(x) = x(20 - 2x) = 20x - 2x^2

Passo 4

Para achar o máximo, calculamos a derivada de A(x) e igualamos a zero: A'(x) = 20 - 4x = 0 implies x = 5 Como é um polinômio quadrático com coeficiente negativo em x^2, esse ponto é um máximo.

Passo 5

Substituindo x = 5 na expressão de y: y = 20 - 2cdot5 = 10 Assim, a área máxima ocorre para as dimensões 5 m e 10 m.

Resposta

5 m por 10 m

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