Determine o máximo e mínimo global nos intervalos fixados das seguintes funções. (Dica: veja o exemplo resolvido.)
f(x)=x ln x no intervalo [1 / 3,2];

Passo 1

O enunciado pede os extremos globais da função
f(x)=xln x
no intervalo fechado l[1/3,,2r]. O conteúdo é extrema de funções em intervalo restrito: precisamos achar os pontos críticos via derivada e depois avaliar a função nos pontos críticos e nas bordas do intervalo.

Passo 2

Calculamos a derivada de f. Usando a regra do produto e l(ln xr)'=1/x, temos
f'(x)=1cdotln x + xcdot1x = ln x + 1
Para encontrar os pontos críticos, resolvemos
ln x + 1 = 0 Longrightarrow ln x = -1 Longrightarrow x = e^-1 = 1e
Como tfrac1eapprox0,3679 está dentro de l[1/3,2r], ele é o único candidato interno.

Passo 3

Agora avaliamos f nos três candidatos:
fl(tfrac13r) = 13ln!tfrac13 = -13ln 3,
fl(tfrac1er) = 1eln!tfrac1e = -1e,
f(2) = 2ln 2

Passo 4

Comparemos numericamente ou analiticamente:
-tfrac1eapprox-0,3679 e -tfrac13ln3approx-0,3662, logo f(tfrac1e) é menor que f(tfrac13). Além disso 2ln2approx1,386 é maior que ambos valores negativos. Portanto f(tfrac1e) é o mínimo global e f(2) é o máximo global.

Resposta

O mínimo global é
fl(tfrac1er) = -1e
em x=tfrac1e,
e o máximo global é
f(2) = 2ln2
em x=2.

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