Um tumor é modelado por uma esfera de raio R . Se o raio do tumor é atualmente R =0,54 cm e está aumentando à taxa de 0,13 cm por mês, qual é a taxa correspondente de aumento do volume V=4 pi R^3 / 3 ?
R) 0,476 cm^3 por mês.

Passo 1

O enunciado modela o tumor por uma esfera de raio R e volume
V = 4pi R^33,
diz que hoje R = 0,54 cm e que dfracdRdt = 0,13 cm/mês, e pede a taxa dfracdVdt. O conteúdo é de taxas relacionadas (derivadas implícitas).

Passo 2

Para achar dfracdVdt usamos diferenciação implícita em V(R). Pela regra da cadeia,
dVdt = dVdR,dRdt

Passo 3

Calculamos dfracdVdR. Como
V(R) = 4pi3R^3,
temos
dVdR = 4pi R^2

Passo 4

Logo
dVdt = 4pi R^2,dRdt
Agora substituímos R = 0,54 cm e tfracdRdt = 0,13 cm/mês:

Passo 5

Primeiro calcule R^2:
R^2 = (0,54)^2 = 0,2916
Então
4 times 0,2916 times 0,13 = 0,151632
e multiplicando por pi:
0,151632 times pi approx 0,4766 cm^3/mês ê

Resposta

A taxa de aumento do volume é aproximadamente 0,476 c m^3 por mês.

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