Sejam
e
. Verifique que:
b)
b)
Passo 1
Vamos resumir o que a questão nos dá e o que precisamos provar. Temos duas funções definidas por:
onde $ a > 0 $ e $ a \neq 1 $. A tarefa é verificar que:
Para resolver isso, vamos usar propriedades das exponenciais e realizar a substituição direta das funções.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular $ g(x + y) $. Substituindo na definição de $ g $:
Passo 3
Agora, vamos expandir $ a^{x + y} $ e $ a^{-(x + y)} $ usando as propriedades das potências:
Então,
Passo 4
Agora, vamos escrever $ f(x)g(y) $ e $ f(y)g(x) $ usando as definições de $ f $ e $ g $:
Passo 5
Somando $ f(x)g(y) + f(y)g(x) $:
Passo 6
Comparando com $ g(x + y) $:
Portanto, $ g(x + y) = f(x)g(y) + f(y)g(x) $.
Resposta
Concluímos que $ g(x + y) = f(x)g(y) + f(y)g(x) $ está verificado.