Sejam f(x)=12[a^x+a^-x] e g(x)=12[a^x-a^-x], a>0, a neq 1. Verifique que:
b) g(x+y)=f(x) g(y)+f(y) g(x)

Passo 1

Vamos resumir o que a questão nos dá e o que precisamos provar. Temos duas funções definidas por:
f(x) = 12(a^x + a^-x)
g(x) = 12(a^x - a^-x)
onde $ a > 0 $ e $ a \neq 1 $. A tarefa é verificar que:
a > 0
Para resolver isso, vamos usar propriedades das exponenciais e realizar a substituição direta das funções.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular $ g(x + y) $. Substituindo na definição de $ g $:
g(x + y)

Passo 3

Agora, vamos expandir $ a^{x + y} $ e $ a^{-(x + y)} $ usando as propriedades das potências:
a^x + y
a^-(x + y)
Então,
a^x + y = a^x cdot a^y

Passo 4

Agora, vamos escrever $ f(x)g(y) $ e $ f(y)g(x) $ usando as definições de $ f $ e $ g $:
f(x)g(y)
f(y)g(x)

Passo 5

Somando $ f(x)g(y) + f(y)g(x) $:
f(x)g(y) + f(y)g(x)

Passo 6

Comparando com $ g(x + y) $:
g(x + y)
g(x + y) = 12(a^xa^y - a^-xa^-y)
Portanto, $ g(x + y) = f(x)g(y) + f(y)g(x) $.

Resposta

Concluímos que $ g(x + y) = f(x)g(y) + f(y)g(x) $ está verificado.

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