Determine os máximos e mínimos da função f na curva dada
f(x, y)=3 x^22-3 x+raiz2 y ; curva elíptica x^3-3 x+y^2=0 ; x >= 0

Passo 1

Vamos achar extremos de f(x,y)=\frac{3x^2}{2}-3x+\sqrt2y sobre a curva g(x,y)=x3-3x+y2=0 com x\ge0 usando multiplicadores de Lagrange.
Definimos a função Lagrangeana L(x,y,lambda)=f(x,y)-lambda,g(x,y) e calculamos as derivadas parciais: As condições são
3x-3=lambda,(3x^2-3)
raiz2=lambda,(2y)
e a restrição
x^3-3x+y^2=0

Passo 2

Primeiro caso: suponha x\neq1. Da primeira equação temos
x-1=raiz22y(x^2-1)
Isolando y
y=raiz22x^2-1x-1=raiz22(x+1)
Substituindo na restrição obtemos
x^3-3x+(x+1)^22=0
Multiplicando por 2 e organizando
2x^3+x^2-4x+1=0
Fatorando, achamos raízes x=1 e x=\frac{-3\pm\sqrt{17}}{4}. Como x\ge0 e x\neq1 neste caso, ficamos com
x1=-3+raiz174, y1=raiz22l(x1+1r)

Passo 3

Segundo caso: x=1. Na restrição vem y^2=2, logo
(x,y)=(1,pmraiz2)

Passo 4

Agora avaliamos f nos pontos críticos:
fl(x1,y1r)=79-17raiz1716approx0.557, f(1,raiz2)=0.5, f(1,-raiz2)=-3.5

Passo 5

Comparando, o valor máximo é f=\frac{79-17\sqrt{17}}{16} em \bigl(x_1,y_1\bigr) e o mínimo é f=-3.5 em (1,-\sqrt2).

Resposta

Máximo em \displaystyle\Bigl(\frac{-3+\sqrt{17}}{4},,\frac{\sqrt2}{2}\bigl(\frac{-3+\sqrt{17}}{4}+1\bigr)\Bigr) com f=\frac{79-17\sqrt{17}}{16}. Mínimo em (1,-\sqrt2) com f=-\tfrac{7}{2}.

Exercícios relacionados