Determine os máximos e mínimos da função f na curva dada
curva elíptica
Passo 1
Vamos achar extremos de f(x,y)=\frac{3x^2}{2}-3x+\sqrt2y sobre a curva g(x,y)=x3-3x+y2=0 com x\ge0 usando multiplicadores de Lagrange.
Definimos a função Lagrangeana e calculamos as derivadas parciais: As condições são
Definimos a função Lagrangeana
e a restrição
Passo 2
Primeiro caso: suponha x\neq1. Da primeira equação temos
Isolando y
Substituindo na restrição obtemos
Multiplicando por 2 e organizando
Fatorando, achamos raízes x=1 e x=\frac{-3\pm\sqrt{17}}{4}. Como x\ge0 e x\neq1 neste caso, ficamos com
Passo 3
Segundo caso: x=1. Na restrição vem y^2=2, logo
Passo 4
Agora avaliamos f nos pontos críticos:
Passo 5
Comparando, o valor máximo é f=\frac{79-17\sqrt{17}}{16} em \bigl(x_1,y_1\bigr) e o mínimo é f=-3.5 em (1,-\sqrt2).
Resposta
Máximo em \displaystyle\Bigl(\frac{-3+\sqrt{17}}{4},,\frac{\sqrt2}{2}\bigl(\frac{-3+\sqrt{17}}{4}+1\bigr)\Bigr) com f=\frac{79-17\sqrt{17}}{16}. Mínimo em (1,-\sqrt2) com f=-\tfrac{7}{2}.