Determine os máximos e mínimos da função f na curva dada
f(x, y)=x^4+y^4; elipse x^2+y^2+raiz2 x y=2+raiz2

Passo 1

O enunciado pede para achar os extremos (máximos e mínimos) de f(x,y)=x^4+y^4 sujeitos à restrição da elipse x^2+y^2+raiz2,xy=2+raiz2. Vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange para isso.

Passo 2

Montamos a função de Lagrange:
L(x,y,lambda)=x^4+y^4-lambdal(x^2+y^2+raiz2,xy-(2+raiz2)r)
e escrevemos as condições de estação:
4x^3-lambda,(2x+raiz2,y)=0,
4y^3-lambda,(2y+raiz2,x)=0,
além da própria restrição
x^2+y^2+raiz2,xy=2+raiz2

Passo 3

Observe que as duas primeiras equações implicam
4x^32x+raiz2,y=4y^32y+raiz2,x
Disso surge a condição geral
(x^2-y^2)l(2xy+raiz2(x^2+y^2)r)=0
Logo ou x^2=y^2 ou 2xy+raiz2(x^2+y^2)=0.

Passo 4

Analisamos primeiro x^2=y^2:
  • Se x=y, a restrição vira (2+raiz2)x^2=2+raiz2 logo x^2=1, ou seja x=y=pm1.
  • Se x=-y, a restrição dá (2-raiz2)x^2=2+raiz2 logo x^2=3+2raiz2 e y=-x.
    Calculamos f nesses pontos:
  • Em (1,1) e (-1,-1): f=1^4+1^4=2.
  • Em (pmraiz3+2raiz2,mpraiz3+2raiz2): f=2(3+2raiz2)^2=34+24raiz2.
    A segunda condição 2xy+raiz2(x^2+y^2)=0 não gera solução real adicional.

Passo 5

Comparando os valores de f: o menor é 2 e o maior é 34+24raiz2. Portanto temos mínimos em (pm1,pm1) com x=y e máximos nos pontos simétricos de x=-y.

Resposta

Mínimos: em (1,1) e (-1,-1) com f=2; Máximos: em (√(3+2√2),-√(3+2√2)) e (-√(3+2√2),√(3+2√2)) com f=34+24√2.

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