Determine os máximos e mínimos da função f na curva dada
; elipse
Passo 1
O enunciado pede para achar os extremos (máximos e mínimos) de
sujeitos à restrição da elipse
. Vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange para isso.
Passo 2
Montamos a função de Lagrange:
e escrevemos as condições de estação:
além da própria restrição
Passo 3
Observe que as duas primeiras equações implicam
Disso surge a condição geral
Logo ou
ou
.
Passo 4
Analisamos primeiro
:
- Se
, a restrição vira logo , ou seja . - Se
, a restrição dá logo e .
Calculamosnesses pontos: - Em
e : . - Em
: .
A segunda condiçãonão gera solução real adicional.
Passo 5
Comparando os valores de
: o menor é
e o maior é
. Portanto temos mínimos em
com
e máximos nos pontos simétricos de
.
Resposta
Mínimos: em (1,1) e (-1,-1) com f=2; Máximos: em (√(3+2√2),-√(3+2√2)) e (-√(3+2√2),√(3+2√2)) com f=34+24√2.