Determine os máximos e mínimos das funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar os máximos e mínimos. Ou seja:
- Encontrar os pontos críticos onde a função pode ter máximos ou mínimos.
- Classificar cada ponto crítico como máximo local ou mínimo local (e dizer os valores de
nesses pontos). - Informar se algum desses é máximo absoluto (global) ou mínimo absoluto.
Informações dadas:
- A função é
, polinomial (definida para todo ).
Passo 2
O primeiro passo prático é calcular a derivada de
, porque os extremos locais ocorrem onde a derivada é zero ou não existe. Aqui a derivada existe sempre (polinômio), então procuramos onde
.
Regra usada (aula rápida): a regra do potência diz que a derivada de
é
. Se há um coeficiente constante, ele sai multiplicando. Para uma soma, derivada é soma das derivadas.
Aplicando:
Podemos fatorar:
Passo 3
Encontrar pontos críticos resolvendo
.
Tirando raiz:
Portanto os pontos críticos são
e
.
Passo 4
Agora vamos classificar esses pontos com o teste da segunda derivada. O teste diz:
- Se
, então é ponto de mínimo local. - Se
, então é ponto de máximo local. - Se
, o teste é inconclusivo.
Calcule a segunda derivada:
Avalia em cada ponto crítico:
Para
:
logo
é ponto de mínimo local.
Para
:
logo
é ponto de máximo local.
Passo 5
Calcular os valores da função nesses pontos (para dar os valores máximos/minimos locais).
Para
:
Para
:
Portanto o máximo local vale
em
e o mínimo local vale
em
.
Passo 6
Verificação do comportamento global: como
é um polinômio de grau ímpar com coeficiente líder positivo, tem comportamento
Logo a função é não limitada acima nem limitada abaixo; portanto não existem máximo absoluto nem mínimo absoluto — apenas os extremos locais já encontrados.
Também pode-se ver o sinal de
: é positivo para
(função crescente), negativo para
(função decrescente), o que confirma que em
ocorre uma subida seguida por descida (máximo local) e em
descida seguida por subida (mínimo local).
Resposta
Máximo local:
em
.\n
Mínimo local: em
.\n
Não há máximo absoluto nem mínimo absoluto (a função é não limitada).
Mínimo local:
Não há máximo absoluto nem mínimo absoluto (a função é não limitada).