Determine mdc 1+i, 1-i em Z[i].

Passo 1

O enunciado pede para determinar o máximo divisor comum de 1+i e 1-i no anel dos inteiros de Gauss Z[i]. Vamos usar teoria de domínio euclidiano, norma e unidades em Z[i].

Passo 2

Em Z[i] definimos a norma de a+bi como
N(a+bi)=a^2+b^2
Esse anel é um domínio euclidiano pela norma, então todo máximo divisor comum (mdc) existe e é único até multiplicação por unidades ( pm1,pm i).

Passo 3

Calculamos as normas:
N(1+i)=1^2+1^2=2 e N(1-i)=1^2+(-1)^2=2.
Logo, se d divide ambos, então N(d) divide 2, de modo que N(d)=1 (unidade) ou N(d)=2. Divisor de norma 2 em Z[i] é associado a 1+i.

Passo 4

Verificamos que 1+i efetivamente divide 1-i:
1-i1+i=-iinZ[i]
Portanto 1+i é um divisor comum de maior norma e, assim, um mdc de 1+i e 1-i (até unidade).

Resposta

1+i

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