Determine mdc
em
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar o máximo divisor comum de
e
no anel dos inteiros de Gauss
. Vamos usar teoria de domínio euclidiano, norma e unidades em
.
Passo 2
Em
definimos a norma de
como
Esse anel é um domínio euclidiano pela norma, então todo máximo divisor comum (mdc) existe e é único até multiplicação por unidades (
).
Passo 3
Calculamos as normas:
e
.
Logo, se divide ambos, então
divide 2, de modo que
(unidade) ou
. Divisor de norma 2 em
é associado a
.
Logo, se
Passo 4
Verificamos que
efetivamente divide
:
Portanto
é um divisor comum de maior norma e, assim, um mdc de
e
(até unidade).